Страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

44. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, длины сторон которого – 15 см, 15 см, 24 см. (12,5 см)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 15 \text{ см}$, $b = 15 \text{ см}$, $c = 24 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$
$b = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$
$c = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной окружности $R$.

Решение:

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, используем формулу $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ - длины сторон треугольника, а $S$ - его площадь.

Сначала вычислим полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15 \text{ см} + 15 \text{ см} + 24 \text{ см}}{2} = \frac{54 \text{ см}}{2} = 27 \text{ см}$.

Затем вычислим площадь $S$ треугольника по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{27(27-15)(27-15)(27-24)}$
$S = \sqrt{27 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 3}$
$S = \sqrt{(9 \cdot 3) \cdot 144 \cdot 3}$
$S = \sqrt{9 \cdot 9 \cdot 144}$
$S = \sqrt{(9 \cdot 12)^2}$
$S = 9 \cdot 12 = 108 \text{ см}^2$.

Теперь подставим найденные значения сторон и площади в формулу для радиуса описанной окружности $R$:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{15 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} \cdot 24 \text{ см}}{4 \cdot 108 \text{ см}^2}$
$R = \frac{5400 \text{ см}^3}{432 \text{ см}^2}$
$R = 12.5 \text{ см}$.

Ответ: 12.5 см

45. Найдите площадь оцинкованного железа, необходимого на изготовление ведра (без учета швов), если $\angle AOB = 115^{\circ}$, $OB = BC$, диаметр дна ведра равен 20 см (рисунок 5).

Рисунок 5

$(\approx 0,32 \text{ м}^2)$

Дано:

• Угол, показанный на рисунке (угол вырезанной части сектора): $\angle AOB = 115^\circ$

• Отношение радиусов/сторон: $OB = BC$

• Диаметр дна ведра: $D_{дна} = 20 \text{ см}$

Перевод в СИ:

• $D_{дна} = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

• Площадь оцинкованного железа $S_{total}$

Решение:

Для изготовления ведра (усеченного конуса) требуется два элемента: круглое дно и боковая поверхность. Боковая поверхность представляет собой сектор кольца (или часть кольцевого сектора).

Пусть $r_1$ - радиус верхнего (меньшего) основания ведра, $r_2$ - радиус нижнего (большего) основания ведра.Пусть $R_{small}$ - радиус внутренней дуги сектора (соответствует $OB$ на рисунке), $R_{large}$ - радиус внешней дуги сектора (соответствует $OC$ на рисунке).Наклонная высота ведра $l$ равна разности радиусов $R_{large} - R_{small}$. На рисунке это отрезок $BC$.

1. Из условия $OB = BC$ следует, что $R_{small} = l$.2. Радиус $R_{large} = OC = OB + BC = R_{small} + R_{small} = 2 R_{small}$.

3. Диаметр дна ведра $D_{дна} = 20 \text{ см}$, значит, радиус дна $r_2 = D_{дна} / 2 = 20 \text{ см} / 2 = 10 \text{ см}$.

4. Развертка боковой поверхности усеченного конуса представляет собой сектор кольца. Длины дуг этого сектора должны соответствовать длинам окружностей оснований ведра.$2\pi r_1 = \theta_{rad} \cdot R_{small}$$2\pi r_2 = \theta_{rad} \cdot R_{large}$где $\theta_{rad}$ - центральный угол сектора в радианах.

Разделив первое уравнение на второе, получаем:$\frac{r_1}{r_2} = \frac{R_{small}}{R_{large}}$Поскольку $R_{large} = 2 R_{small}$, то $\frac{r_1}{r_2} = \frac{R_{small}}{2R_{small}} = \frac{1}{2}$.Следовательно, $r_1 = \frac{1}{2} r_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

5. Угол $\angle AOB = 115^\circ$ на рисунке показывает угол "вырезанной" части кругового сектора. Следовательно, угол сектора, который образует боковую поверхность ведра, равен:$\theta = 360^\circ - \angle AOB = 360^\circ - 115^\circ = 245^\circ$.Переведем этот угол в радианы:$\theta_{rad} = 245^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{245\pi}{180} = \frac{49\pi}{36}$ радианы.

6. Теперь найдем радиусы $R_{large}$ и $R_{small}$. Используем формулу для длины дуги внешней окружности:$2\pi r_2 = \theta_{rad} \cdot R_{large}$$2\pi \cdot 10 \text{ см} = \frac{49\pi}{36} \cdot R_{large}$$20\pi = \frac{49\pi}{36} \cdot R_{large}$$20 = \frac{49}{36} \cdot R_{large}$$R_{large} = 20 \cdot \frac{36}{49} = \frac{720}{49} \text{ см}$.

Из $R_{small} = \frac{1}{2} R_{large}$:$R_{small} = \frac{1}{2} \cdot \frac{720}{49} = \frac{360}{49} \text{ см}$.

7. Наклонная высота ведра $l = R_{small} = \frac{360}{49} \text{ см}$.

8. Площадь боковой поверхности ведра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$$S_{бок} = \pi (5 \text{ см} + 10 \text{ см}) \cdot \frac{360}{49} \text{ см}$$S_{бок} = 15\pi \cdot \frac{360}{49} = \frac{5400\pi}{49} \text{ см}^2$.

9. Площадь дна ведра $S_{дна}$ вычисляется по формуле площади круга:$S_{дна} = \pi r_2^2 = \pi (10 \text{ см})^2 = 100\pi \text{ см}^2$.

10. Общая площадь оцинкованного железа $S_{total}$ равна сумме площади боковой поверхности и площади дна:$S_{total} = S_{бок} + S_{дна} = \frac{5400\pi}{49} + 100\pi$$S_{total} = \pi \left( \frac{5400}{49} + \frac{4900}{49} \right) = \pi \frac{5400+4900}{49} = \frac{10300\pi}{49} \text{ см}^2$.

11. Переведем общую площадь в квадратные метры:$S_{total} = \frac{10300\pi}{49} \text{ см}^2 \cdot \left(\frac{1 \text{ м}}{100 \text{ см}}\right)^2 = \frac{10300\pi}{49} \cdot \frac{1}{10000} \text{ м}^2 = \frac{103\pi}{4900} \text{ м}^2$.

Вычислим приблизительное значение, используя $\pi \approx 3.14159265$:$S_{total} \approx \frac{103 \cdot 3.14159265}{4900} \approx \frac{323.68304}{4900} \approx 0.06605776 \text{ м}^2$.Округлим до двух знаков после запятой:$S_{total} \approx 0.066 \text{ м}^2$.

Ответ: $0.066 \text{ м}^2$

46. Найдите площадь поверхности куба, сумма длин всех ребер которого равна $\sqrt{12}$ дм.

(0,5 дм$^{2}$)

Дано:

Сумма длин всех ребер куба $L = \sqrt{12}$ дм.

Перевод в СИ:

$L = \sqrt{12}$ дм $= \sqrt{4 \cdot 3}$ дм $= 2\sqrt{3}$ дм.

Так как $1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$, то $L = 2\sqrt{3} \cdot 0.1 \text{ м} = 0.2\sqrt{3} \text{ м}$.

Найти:

Площадь поверхности куба $S$.

Решение:

Пусть $a$ — длина ребра куба. Куб имеет 12 ребер, все они равны по длине. Следовательно, сумма длин всех ребер куба равна $12a$.

Согласно условию задачи, сумма длин всех ребер равна $\sqrt{12}$ дм. Таким образом, мы можем записать уравнение:

$12a = \sqrt{12}$ дм.

Найдем длину ребра $a$:

$a = \frac{\sqrt{12}}{12}$ дм.

Упростим выражение для $a$, вынеся множитель из-под корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Тогда $a = \frac{2\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ дм.

Площадь поверхности куба $S$ вычисляется по формуле $S = 6a^2$, так как у куба 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$ (площадь одной грани $a^2$).

Подставим найденное значение $a$ в формулу площади:

$S = 6 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2$

$S = 6 \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{6^2}$

$S = 6 \cdot \frac{3}{36}$

$S = 6 \cdot \frac{1}{12}$

$S = \frac{6}{12}$

$S = 0.5$ дм$^2$.

Ответ:

0.5 дм$^2$.

47. Какие размеры может иметь прямоугольный лист бумаги, из которого можно вырезать развертку куба с ребром 4 дм? (12 дм $ \times $ 16 дм, не менее)

Дано:

Ребро куба: $a = 4 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

Ребро куба: $a = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Минимальные размеры прямоугольного листа бумаги (длина и ширина).

Решение:

Развертка куба состоит из шести одинаковых квадратных граней. Каждая грань куба с ребром $a$ представляет собой квадрат со стороной $a$. Для того чтобы вырезать развертку из прямоугольного листа бумаги с минимальными потерями, необходимо найти такую конфигурацию развертки, которая помещается в наименьший прямоугольник.

Наиболее распространенной и компактной формой развертки куба является крестообразная развертка (также известная как "крест" или "Т-образная" развертка). Она состоит из четырех квадратов, расположенных в один ряд, и еще двух квадратов, примыкающих к этому ряду сверху и снизу.

Рассмотрим такую развертку:

квадрат 1
квадрат 2 квадрат 3 квадрат 4 квадрат 5
квадрат 6

Если квадрат 1 примыкает к квадрату 3, а квадрат 6 примыкает к квадрату 4, то максимальная длина развертки будет определяться рядом из четырех квадратов, а максимальная ширина — высотой, занимаемой тремя квадратами (один в ряду, один сверху и один снизу).

Таким образом, размеры прямоугольника, в который помещается такая развертка, будут:

Длина: $4 \times a$

Ширина: $3 \times a$

Подставим значение ребра куба $a = 4 \text{ дм}$:

Длина $= 4 \times 4 \text{ дм} = 16 \text{ дм}$

Ширина $= 3 \times 4 \text{ дм} = 12 \text{ дм}$

Следовательно, минимальные размеры прямоугольного листа бумаги, из которого можно вырезать развертку куба с ребром 4 дм, составляют 12 дм на 16 дм.

Ответ:

Прямоугольный лист бумаги может иметь размеры 12 дм на 16 дм (или 16 дм на 12 дм). Это минимальные размеры, необходимые для вырезания развертки.

48. Для выполнения отделочных работ внутри здания используют подмости (рисунок 6). Щит настила подмости закреплен на расстоянии $AA_1 = a$ от основания стойки и расстоянии $MA_1 = b$ от точки пересечения стоек. Расстояние между основаниями стоек $AB = c$. Найдите расстояние $A_1 B_1$ между точками пересечения стоек с настилом.

Рисунок 6

$(A_1 B_1 = \frac{bc}{a+b})$

Дано:

• Расстояние от основания стойки до места крепления настила: $AA_1 = a$

• Расстояние от точки пересечения стоек до места крепления настила: $MA_1 = b$

• Расстояние между основаниями стоек: $AB = c$

Перевод в СИ:

Данные величины $a$, $b$, $c$ являются параметрами, выраженными в произвольных единицах длины. Перевод в систему СИ (метры) не требуется, так как ответ будет представлен в тех же буквенных обозначениях и, следовательно, в тех же единицах.

Найти:

• Расстояние между точками пересечения стоек с настилом: $A_1 B_1$

Решение:

Рассмотрим два треугольника, образованные стойками подмостей и настилом/основанием: $\triangle M A_1 B_1$ и $\triangle M A B$. Точка $M$ является общей точкой пересечения стоек (вершиной, из которой исходят линии $MA$ и $MB$).

По условию задачи и изображению, точки $M$, $A_1$, $A$ лежат на одной прямой, и точки $M$, $B_1$, $B$ лежат на другой прямой. Настил $A_1 B_1$ расположен горизонтально, параллельно основанию $AB$ (это следует из конструкции подмостей и рисунка 6).

Из параллельности отрезков $A_1 B_1$ и $AB$ следуют следующие равенства углов:

• $\angle M A_1 B_1 = \angle M A B$ (как соответственные углы при параллельных прямых $A_1 B_1$ и $A B$ и секущей $M A$)

• $\angle M B_1 A_1 = \angle M B A$ (как соответственные углы при параллельных прямых $A_1 B_1$ и $A B$ и секущей $M B$)

Угол $\angle M$ является общим для обоих треугольников $\triangle M A_1 B_1$ и $\triangle M A B$.

Таким образом, треугольники $\triangle M A_1 B_1$ и $\triangle M A B$ подобны по трем углам (критерий ААА подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{A_1 B_1}{A B} = \frac{M A_1}{M A}$

Нам известны следующие расстояния:

• $MA_1 = b$

• $AA_1 = a$

• $AB = c$

Исходя из геометрии рисунка, длина отрезка $MA$ является суммой длин отрезков $MA_1$ и $AA_1$:

$MA = MA_1 + AA_1 = b + a$

Подставим известные значения в пропорцию подобия:

$\frac{A_1 B_1}{c} = \frac{b}{a + b}$

Выразим искомую величину $A_1 B_1$:

$A_1 B_1 = \frac{b \cdot c}{a + b}$

Ответ:

Расстояние между точками пересечения стоек с настилом $A_1 B_1$ равно $\frac{bc}{a+b}$.

49. Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 2 см. (10 см)

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Длины сторон образуют арифметическую прогрессию.

Разность арифметической прогрессии $d = 2$ см.

Перевод в СИ:

$d = 2$ см $= 0.02$ м.

Найти:

Длина гипотенузы $c$.

Решение:

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника, образующие арифметическую прогрессию, равны $a, b, c$. Так как стороны образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 2$ см, мы можем представить их как $x - d$, $x$, $x + d$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, поэтому гипотенуза будет равна $x + d$. Катеты будут равны $x - d$ и $x$. Подставляем значение разности $d=2$ см:

Стороны треугольника: $a = (x - 2)$ см, $b = x$ см, $c = (x + 2)$ см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставляем выражения для сторон:

$(x - 2)^2 + x^2 = (x + 2)^2$

Раскрываем скобки:

$(x^2 - 4x + 4) + x^2 = (x^2 + 4x + 4)$

Объединяем члены:

$2x^2 - 4x + 4 = x^2 + 4x + 4$

Переносим все члены в одну сторону:

$2x^2 - x^2 - 4x - 4x + 4 - 4 = 0$

$x^2 - 8x = 0$

Выносим $x$ за скобки:

$x(x - 8) = 0$

Получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ или $x_2 = 8$.

Длина стороны не может быть равной нулю или отрицательной. Если $x = 0$, то стороны будут: $(-2, 0, 2)$, что не является допустимым для длин сторон треугольника. Если $x = 8$, то длины сторон будут:

• Первый катет: $a = x - 2 = 8 - 2 = 6$ см

• Второй катет: $b = x = 8$ см

• Гипотенуза: $c = x + 2 = 8 + 2 = 10$ см

Проверим эти длины по теореме Пифагора:

$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$10^2 = 100$

Так как $100 = 100$, эти длины сторон соответствуют прямоугольному треугольнику.

Длина гипотенузы равна $10$ см.

Ответ:

Длина гипотенузы: 10 см.