Номер 48, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

48. Для выполнения отделочных работ внутри здания используют подмости (рисунок 6). Щит настила подмости закреплен на расстоянии $AA_1 = a$ от основания стойки и расстоянии $MA_1 = b$ от точки пересечения стоек. Расстояние между основаниями стоек $AB = c$. Найдите расстояние $A_1 B_1$ между точками пересечения стоек с настилом.

Рисунок 6

$(A_1 B_1 = \frac{bc}{a+b})$

Дано:

• Расстояние от основания стойки до места крепления настила: $AA_1 = a$

• Расстояние от точки пересечения стоек до места крепления настила: $MA_1 = b$

• Расстояние между основаниями стоек: $AB = c$

Перевод в СИ:

Данные величины $a$, $b$, $c$ являются параметрами, выраженными в произвольных единицах длины. Перевод в систему СИ (метры) не требуется, так как ответ будет представлен в тех же буквенных обозначениях и, следовательно, в тех же единицах.

Найти:

• Расстояние между точками пересечения стоек с настилом: $A_1 B_1$

Решение:

Рассмотрим два треугольника, образованные стойками подмостей и настилом/основанием: $\triangle M A_1 B_1$ и $\triangle M A B$. Точка $M$ является общей точкой пересечения стоек (вершиной, из которой исходят линии $MA$ и $MB$).

По условию задачи и изображению, точки $M$, $A_1$, $A$ лежат на одной прямой, и точки $M$, $B_1$, $B$ лежат на другой прямой. Настил $A_1 B_1$ расположен горизонтально, параллельно основанию $AB$ (это следует из конструкции подмостей и рисунка 6).

Из параллельности отрезков $A_1 B_1$ и $AB$ следуют следующие равенства углов:

• $\angle M A_1 B_1 = \angle M A B$ (как соответственные углы при параллельных прямых $A_1 B_1$ и $A B$ и секущей $M A$)

• $\angle M B_1 A_1 = \angle M B A$ (как соответственные углы при параллельных прямых $A_1 B_1$ и $A B$ и секущей $M B$)

Угол $\angle M$ является общим для обоих треугольников $\triangle M A_1 B_1$ и $\triangle M A B$.

Таким образом, треугольники $\triangle M A_1 B_1$ и $\triangle M A B$ подобны по трем углам (критерий ААА подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{A_1 B_1}{A B} = \frac{M A_1}{M A}$

Нам известны следующие расстояния:

• $MA_1 = b$

• $AA_1 = a$

• $AB = c$

Исходя из геометрии рисунка, длина отрезка $MA$ является суммой длин отрезков $MA_1$ и $AA_1$:

$MA = MA_1 + AA_1 = b + a$

Подставим известные значения в пропорцию подобия:

$\frac{A_1 B_1}{c} = \frac{b}{a + b}$

Выразим искомую величину $A_1 B_1$:

$A_1 B_1 = \frac{b \cdot c}{a + b}$

Ответ:

Расстояние между точками пересечения стоек с настилом $A_1 B_1$ равно $\frac{bc}{a+b}$.