Номер 45, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

45. Найдите площадь оцинкованного железа, необходимого на изготовление ведра (без учета швов), если $\angle AOB = 115^{\circ}$, $OB = BC$, диаметр дна ведра равен 20 см (рисунок 5).

Рисунок 5

$(\approx 0,32 \text{ м}^2)$

Дано:

• Угол, показанный на рисунке (угол вырезанной части сектора): $\angle AOB = 115^\circ$

• Отношение радиусов/сторон: $OB = BC$

• Диаметр дна ведра: $D_{дна} = 20 \text{ см}$

Перевод в СИ:

• $D_{дна} = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

• Площадь оцинкованного железа $S_{total}$

Решение:

Для изготовления ведра (усеченного конуса) требуется два элемента: круглое дно и боковая поверхность. Боковая поверхность представляет собой сектор кольца (или часть кольцевого сектора).

Пусть $r_1$ - радиус верхнего (меньшего) основания ведра, $r_2$ - радиус нижнего (большего) основания ведра.Пусть $R_{small}$ - радиус внутренней дуги сектора (соответствует $OB$ на рисунке), $R_{large}$ - радиус внешней дуги сектора (соответствует $OC$ на рисунке).Наклонная высота ведра $l$ равна разности радиусов $R_{large} - R_{small}$. На рисунке это отрезок $BC$.

1. Из условия $OB = BC$ следует, что $R_{small} = l$.2. Радиус $R_{large} = OC = OB + BC = R_{small} + R_{small} = 2 R_{small}$.

3. Диаметр дна ведра $D_{дна} = 20 \text{ см}$, значит, радиус дна $r_2 = D_{дна} / 2 = 20 \text{ см} / 2 = 10 \text{ см}$.

4. Развертка боковой поверхности усеченного конуса представляет собой сектор кольца. Длины дуг этого сектора должны соответствовать длинам окружностей оснований ведра.$2\pi r_1 = \theta_{rad} \cdot R_{small}$$2\pi r_2 = \theta_{rad} \cdot R_{large}$где $\theta_{rad}$ - центральный угол сектора в радианах.

Разделив первое уравнение на второе, получаем:$\frac{r_1}{r_2} = \frac{R_{small}}{R_{large}}$Поскольку $R_{large} = 2 R_{small}$, то $\frac{r_1}{r_2} = \frac{R_{small}}{2R_{small}} = \frac{1}{2}$.Следовательно, $r_1 = \frac{1}{2} r_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

5. Угол $\angle AOB = 115^\circ$ на рисунке показывает угол "вырезанной" части кругового сектора. Следовательно, угол сектора, который образует боковую поверхность ведра, равен:$\theta = 360^\circ - \angle AOB = 360^\circ - 115^\circ = 245^\circ$.Переведем этот угол в радианы:$\theta_{rad} = 245^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{245\pi}{180} = \frac{49\pi}{36}$ радианы.

6. Теперь найдем радиусы $R_{large}$ и $R_{small}$. Используем формулу для длины дуги внешней окружности:$2\pi r_2 = \theta_{rad} \cdot R_{large}$$2\pi \cdot 10 \text{ см} = \frac{49\pi}{36} \cdot R_{large}$$20\pi = \frac{49\pi}{36} \cdot R_{large}$$20 = \frac{49}{36} \cdot R_{large}$$R_{large} = 20 \cdot \frac{36}{49} = \frac{720}{49} \text{ см}$.

Из $R_{small} = \frac{1}{2} R_{large}$:$R_{small} = \frac{1}{2} \cdot \frac{720}{49} = \frac{360}{49} \text{ см}$.

7. Наклонная высота ведра $l = R_{small} = \frac{360}{49} \text{ см}$.

8. Площадь боковой поверхности ведра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$$S_{бок} = \pi (5 \text{ см} + 10 \text{ см}) \cdot \frac{360}{49} \text{ см}$$S_{бок} = 15\pi \cdot \frac{360}{49} = \frac{5400\pi}{49} \text{ см}^2$.

9. Площадь дна ведра $S_{дна}$ вычисляется по формуле площади круга:$S_{дна} = \pi r_2^2 = \pi (10 \text{ см})^2 = 100\pi \text{ см}^2$.

10. Общая площадь оцинкованного железа $S_{total}$ равна сумме площади боковой поверхности и площади дна:$S_{total} = S_{бок} + S_{дна} = \frac{5400\pi}{49} + 100\pi$$S_{total} = \pi \left( \frac{5400}{49} + \frac{4900}{49} \right) = \pi \frac{5400+4900}{49} = \frac{10300\pi}{49} \text{ см}^2$.

11. Переведем общую площадь в квадратные метры:$S_{total} = \frac{10300\pi}{49} \text{ см}^2 \cdot \left(\frac{1 \text{ м}}{100 \text{ см}}\right)^2 = \frac{10300\pi}{49} \cdot \frac{1}{10000} \text{ м}^2 = \frac{103\pi}{4900} \text{ м}^2$.

Вычислим приблизительное значение, используя $\pi \approx 3.14159265$:$S_{total} \approx \frac{103 \cdot 3.14159265}{4900} \approx \frac{323.68304}{4900} \approx 0.06605776 \text{ м}^2$.Округлим до двух знаков после запятой:$S_{total} \approx 0.066 \text{ м}^2$.

Ответ: $0.066 \text{ м}^2$