Номер 51, страница 190 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

51. a) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, вписанного в окружность, радиус которой 9 см.

б) На расстоянии 8 м от центра $O$ окружности радиуса 6 м взята точка $M$. Найдите наибольшую площадь треугольника $OMX$, где $X$ – произвольная точка окружности.

(a) 162 $см^2$; б) 24 $м^2$)

a)

Дано:

Радиус окружности $R = 9$ см

Перевод в СИ:

$R = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Наибольшую площадь четырехугольника $S_{max}$

Решение:

Среди всех четырехугольников, вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат. Диагональ такого квадрата равна диаметру окружности.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда его диагональ $d$ связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$.

Диаметр окружности $D$ равен двум радиусам, то есть $D = 2R$.

Поскольку диагональ квадрата является диаметром окружности, имеем $a\sqrt{2} = 2R$.

Выразим сторону квадрата $a$ через радиус $R$: $a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.

Площадь квадрата $S$ вычисляется как $S = a^2$. Подставим выражение для $a$:

$S_{max} = (R\sqrt{2})^2 = R^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2R^2$.

Подставим заданное значение радиуса $R = 9$ см:

$S_{max} = 2 \cdot (9 \text{ см})^2 = 2 \cdot 81 \text{ см}^2 = 162 \text{ см}^2$.

Ответ: 162 см$^2$

б)

Дано:

Расстояние от центра $O$ окружности до точки $M$: $OM = 8$ м

Радиус окружности: $R = 6$ м

Точка $X$ – произвольная точка окружности.

Перевод в СИ:

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Наибольшую площадь треугольника $OMX$, $S_{OMX,max}$

Решение:

Площадь треугольника $OMX$ определяется по формуле $S_{OMX} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

В качестве основания треугольника $OMX$ возьмем отрезок $OM$. Его длина фиксирована и равна $OM = 8$ м.

Тогда площадь треугольника $S_{OMX} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot h_X$, где $h_X$ – высота треугольника, опущенная из вершины $X$ на прямую, содержащую основание $OM$.

Для того чтобы площадь треугольника была наибольшей, необходимо максимизировать высоту $h_X$.

Высота $h_X$ – это перпендикулярное расстояние от точки $X$ (лежащей на окружности) до прямой $OM$.

Максимальное расстояние от точки на окружности до прямой, проходящей через центр этой окружности $O$ (прямая $OM$), достигается, когда радиус $OX$ перпендикулярен прямой $OM$.

В этом случае высота $h_X$ будет равна радиусу окружности $R$.

Таким образом, максимальная высота $h_{X,max} = R = 6$ м.

Подставим значения $OM$ и $R$ в формулу площади:

$S_{OMX,max} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot R$

$S_{OMX,max} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ м} \cdot 6 \text{ м}$

$S_{OMX,max} = \frac{1}{2} \cdot 48 \text{ м}^2$

$S_{OMX,max} = 24 \text{ м}^2$

Ответ: 24 м$^2$