Номер 52, страница 190 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

52. В треугольнике $ABC$ $AC = 2$ дм, $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$. Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне $AC$.

$((\sqrt{3} - 1)$ дм)

Дано:

треугольник $ABC$;

$AC = 2$ дм;

$\angle A = 30^\circ$;

$\angle C = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

$AC = 2$ дм $ = 0.2$ м.

Найти:

высоту $BH$, проведенную к стороне $AC$.

Решение:

Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$. Точка $H$ лежит на отрезке $AC$, так как углы $A$ и $C$ острые (меньше $90^\circ$).

Высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому треугольники $ABH$ и $CBH$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$:

$\angle A = 30^\circ$.

Тангенс угла $A$ определяется как отношение противолежащего катета $BH$ к прилежащему катету $AH$:

$\tan A = \frac{BH}{AH}$

Отсюда, $AH = \frac{BH}{\tan A} = \frac{BH}{\tan 30^\circ}$.

Известно, что $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Следовательно, $AH = \frac{BH}{1/\sqrt{3}} = BH\sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$:

$\angle C = 45^\circ$.

Тангенс угла $C$ определяется как отношение противолежащего катета $BH$ к прилежащему катету $HC$:

$\tan C = \frac{BH}{HC}$

Отсюда, $HC = \frac{BH}{\tan C} = \frac{BH}{\tan 45^\circ}$.

Известно, что $\tan 45^\circ = 1$.

Следовательно, $HC = \frac{BH}{1} = BH$.

Длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $HC$:

$AC = AH + HC$

Подставим найденные выражения для $AH$ и $HC$:

$AC = BH\sqrt{3} + BH$

$AC = BH(\sqrt{3} + 1)$

Выразим высоту $BH$:

$BH = \frac{AC}{\sqrt{3} + 1}$

Подставим значение $AC = 2$ дм:

$BH = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:

$BH = \frac{2}{(\sqrt{3} + 1)} \cdot \frac{(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} - 1)}$

Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$BH = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - (1)^2}$

$BH = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1}$

$BH = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2}$

$BH = \sqrt{3} - 1$

Единица измерения — дециметры (дм).

Ответ:

Высота треугольника, проведенная к стороне $AC$, равна $(\sqrt{3} - 1)$ дм.