Номер 2, страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Упростите выражение:

1) $\vec{AB} + \vec{BC}$;

2) $\vec{KM} + \vec{MC}$;

3) $\vec{AB} - \vec{AC}$;

4) $\vec{KM} - \vec{KC}$;

5) $\vec{AB} - \vec{CB}$;

6) $\vec{KM} - \vec{MC}$;

7) $\vec{MN} + \vec{KE} + \vec{NK}$;

8) $\vec{AB} + \vec{BE} + \vec{EK}$;

9) $\vec{AB} + \vec{CM} + \vec{BC} - \vec{AM}$;

10) $\vec{MN} + \vec{DK} - \vec{DN} + \vec{KM}$;

11) $(\vec{HB} + \vec{BA} - \vec{TA}) - (\vec{PX} - \vec{TX})=;$

12) $(\vec{MN} + \vec{NK} - \vec{PK}) - (\vec{CD} - \vec{PD}).$

1)

Дано: $\vec{AB} + \vec{BC}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Используем правило сложения векторов (правило треугольника), где конец первого вектора является началом второго. Их сумма равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$

2)

Дано: $\vec{KM} + \vec{MC}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Используем правило сложения векторов (правило треугольника).

$\vec{KM} + \vec{MC} = \vec{KC}$

Ответ: $\vec{KC}$

3)

Дано: $\vec{AB} - \vec{AC}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Векторную разность $\vec{AB} - \vec{AC}$ можно представить как сумму $\vec{AB} + (-\vec{AC})$. Вектор $-\vec{AC}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, то есть $-\vec{AC} = \vec{CA}$.

Тогда $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{CA}$.

Переставим слагаемые: $\vec{CA} + \vec{AB}$.

Используем правило треугольника: $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

Ответ: $\vec{CB}$

4)

Дано: $\vec{KM} - \vec{KC}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Преобразуем разность в сумму: $\vec{KM} - \vec{KC} = \vec{KM} + (-\vec{KC}) = \vec{KM} + \vec{CK}$.

Переставим слагаемые: $\vec{CK} + \vec{KM}$.

Используем правило треугольника: $\vec{CK} + \vec{KM} = \vec{CM}$.

Ответ: $\vec{CM}$

5)

Дано: $\vec{AB} - \vec{CB}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Преобразуем разность в сумму: $\vec{AB} - \vec{CB} = \vec{AB} + (-\vec{CB}) = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Используем правило треугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Ответ: $\vec{AC}$

6)

Дано: $\vec{KM} - \vec{MC}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Преобразуем разность в сумму: $\vec{KM} - \vec{MC} = \vec{KM} + (-\vec{MC}) = \vec{KM} + \vec{CM}$.

Данное выражение представляет собой сумму двух векторов $\vec{KM}$ и $\vec{CM}$, которые имеют общую точку $M$, но не образуют цепочку "конец-начало", что позволяло бы их свести к одному вектору по правилу треугольника. В общем случае, без дополнительных условий о расположении точек K, M, C, это выражение не упрощается до одного вектора. Это является наиболее упрощенной формой.

Ответ: $\vec{KM} + \vec{CM}$

7)

Дано: $\vec{MN} + \vec{KE} + \vec{NK}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Перегруппируем слагаемые, чтобы сформировать цепочки для правила треугольника.

$\vec{MN} + \vec{KE} + \vec{NK} = (\vec{MN} + \vec{NK}) + \vec{KE}$

Применяем правило треугольника к первой скобке: $\vec{MN} + \vec{NK} = \vec{MK}$.

Тогда выражение становится: $\vec{MK} + \vec{KE}$.

Снова применяем правило треугольника: $\vec{MK} + \vec{KE} = \vec{ME}$.

Ответ: $\vec{ME}$

8)

Дано: $\vec{AB} + \vec{BE} + \vec{EK}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Последовательно применяем правило треугольника.

$(\vec{AB} + \vec{BE}) + \vec{EK}$

$\vec{AE} + \vec{EK}$

$\vec{AK}$

Ответ: $\vec{AK}$

9)

Дано: $\vec{AB} + \vec{CM} + \vec{BC} - \vec{AM}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Перегруппируем слагаемые и преобразуем вычитание в сложение.

$\vec{AB} + \vec{CM} + \vec{BC} - \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CM} + (-\vec{AM})$

Применяем правило треугольника к первым двум векторам: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Выражение становится: $\vec{AC} + \vec{CM} + (-\vec{AM})$.

Снова применяем правило треугольника: $\vec{AC} + \vec{CM} = \vec{AM}$.

Выражение становится: $\vec{AM} + (-\vec{AM})$.

Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору: $\vec{AM} - \vec{AM} = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$

10)

Дано: $\vec{MN} + \vec{DK} - \vec{DN} + \vec{KM}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Преобразуем вычитание в сложение: $-\vec{DN} = \vec{ND}$.

$\vec{MN} + \vec{DK} + \vec{ND} + \vec{KM}$

Перегруппируем слагаемые для образования цепочек:

$(\vec{MN} + \vec{ND}) + (\vec{DK} + \vec{KM})$

Применяем правило треугольника к каждой скобке:

$\vec{MN} + \vec{ND} = \vec{MD}$.

$\vec{DK} + \vec{KM} = \vec{DM}$.

Выражение становится: $\vec{MD} + \vec{DM}$.

Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору: $\vec{MD} + \vec{DM} = \vec{MM} = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$

11)

Дано: $(\vec{HB} + \vec{BA} - \vec{TA}) - (\vec{PX} - \vec{TX})$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Упростим каждое выражение в скобках отдельно.

Первая скобка: $\vec{HB} + \vec{BA} - \vec{TA}$

Применяем правило треугольника: $\vec{HB} + \vec{BA} = \vec{HA}$.

Выражение становится: $\vec{HA} - \vec{TA}$.

Преобразуем вычитание: $\vec{HA} + (-\vec{TA}) = \vec{HA} + \vec{AT}$.

Применяем правило треугольника: $\vec{HA} + \vec{AT} = \vec{HT}$.

Вторая скобка: $\vec{PX} - \vec{TX}$

Преобразуем вычитание: $\vec{PX} + (-\vec{TX}) = \vec{PX} + \vec{XT}$.

Применяем правило треугольника: $\vec{PX} + \vec{XT} = \vec{PT}$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно:

$\vec{HT} - \vec{PT}$

Преобразуем вычитание: $\vec{HT} + (-\vec{PT}) = \vec{HT} + \vec{TP}$.

Применяем правило треугольника: $\vec{HT} + \vec{TP} = \vec{HP}$.

Ответ: $\vec{HP}$

12)

Дано: $(\vec{MN} + \vec{NK} - \vec{PK}) - (\vec{CD} - \vec{PD})$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Упростим каждое выражение в скобках отдельно.

Первая скобка: $\vec{MN} + \vec{NK} - \vec{PK}$

Применяем правило треугольника: $\vec{MN} + \vec{NK} = \vec{MK}$.

Выражение становится: $\vec{MK} - \vec{PK}$.

Преобразуем вычитание: $\vec{MK} + (-\vec{PK}) = \vec{MK} + \vec{KP}$.

Применяем правило треугольника: $\vec{MK} + \vec{KP} = \vec{MP}$.

Вторая скобка: $\vec{CD} - \vec{PD}$

Преобразуем вычитание: $\vec{CD} + (-\vec{PD}) = \vec{CD} + \vec{DP}$.

Переставим слагаемые: $\vec{DP} + \vec{CD}$.

Применяем правило треугольника: $\vec{DP} + \vec{CD} = \vec{CP}$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно:

$\vec{MP} - \vec{CP}$

Преобразуем вычитание: $\vec{MP} + (-\vec{CP}) = \vec{MP} + \vec{PC}$.

Применяем правило треугольника: $\vec{MP} + \vec{PC} = \vec{MC}$.

Ответ: $\vec{MC}$