Номер 1, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Выразите векторы через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1)

$\vec{x} - ?$

2)

$BC \parallel MN; \vec{x} - ?$

3)

$BM = MC; \vec{x} - ?$

4)

$FN = NK, ME = MK; \vec{x} - ?$

5)

$BM : MC = 7 : 2, DN : NC = 1 : 2; \vec{x} - ?$

6)

$AM : MB = 1 : 3, BN : NC = 7 : 9; \vec{x} - ?$

7)

$DK = KC, BE : EC = 3 : 1; \vec{AE} - ? \vec{AK} - ? \vec{KE} - ?$

8)

$AN = NB, BM : MC = 4 : 3; \vec{AM} - ? \vec{MD} - ? \vec{MN} - ?$

1)

Дано:

Треугольник ABC.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AC} = \vec{b}$
N - середина BC.
$\vec{AN} = \vec{x}$

Найти:

$\vec{x}$

Решение:

Вектор $\vec{AN}$ является медианой треугольника ABC, проведенной к стороне BC (так как N - середина BC).
Для медианы, проведенной из вершины A к середине стороны BC, справедливо следующее векторное соотношение:
$\vec{AN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
Подставляя данные из условия задачи, получаем:
$\vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

Ответ: $\vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

2)

Дано:

Треугольник ABC.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AC} = \vec{b}$
M - середина AB.
N - середина AC.
$\vec{MN} = \vec{x}$

Найти:

$\vec{x}$

Решение:

Вектор $\vec{MN}$ соединяет середины сторон AB и AC. Следовательно, MN является средней линией треугольника ABC.
Свойство средней линии гласит, что она параллельна третьей стороне и равна ее половине по длине, а также сонаправлена с ней.
Таким образом, $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.
Выразим вектор $\vec{BC}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$
Теперь подставим это выражение в формулу для $\vec{x}$:
$\vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Ответ: $\vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

3)

Дано:

Параллелограмм ABCD.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AD} = \vec{b}$
M - середина BC.
$\vec{DM} = \vec{x}$

Найти:

$\vec{x}$

Решение:

В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.
Поскольку M - середина BC, то $\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
Для нахождения вектора $\vec{DM}$ воспользуемся правилом сложения векторов (по пути D $\rightarrow$ C $\rightarrow$ M):
$\vec{DM} = \vec{DC} + \vec{CM}$
Мы знаем, что $\vec{DC} = \vec{a}$.
Вектор $\vec{CM}$ противоположен вектору $\vec{MC}$ и имеет ту же длину, что и $\vec{BM}$. Так как $\vec{MC} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$, то $\vec{CM} = -\frac{1}{2}\vec{b}$.
Подставляем значения:
$\vec{x} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{x} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

4)

Дано:

Четырехугольник PFEK.
$\vec{PF} = \vec{a}$
$\vec{PE} = \vec{b}$
N - середина FK.
M - середина KE.
$\vec{MN} = \vec{x}$

Найти:

$\vec{x}$

Решение:

Рассмотрим треугольник FKE. Точка N является серединой стороны FK, а точка M является серединой стороны KE.
Следовательно, отрезок MN является средней линией треугольника FKE.
По свойству средней линии, вектор $\vec{MN}$ равен половине вектора $\vec{FE}$ и сонаправлен с ним:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{FE}$
Выразим вектор $\vec{FE}$ через известные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (используя правило вычитания векторов из одной точки P):
$\vec{FE} = \vec{PE} - \vec{PF}$
$\vec{FE} = \vec{b} - \vec{a}$
Теперь подставим это выражение в формулу для $\vec{x}$:
$\vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Ответ: $\vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

5)

Дано:

Параллелограмм ABCD.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AD} = \vec{b}$
$BM:MC = 7:2$.
$DN:NC = 1:2$.
$\vec{MN} = \vec{x}$

Найти:

$\vec{x}$

Решение:

В параллелограмме ABCD: $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.
Точка M делит сторону BC в отношении $BM:MC = 7:2$. Следовательно, $\vec{BM} = \frac{7}{7+2}\vec{BC} = \frac{7}{9}\vec{b}$.
Точка N делит сторону DC в отношении $DN:NC = 1:2$. Следовательно, $\vec{DN} = \frac{1}{1+2}\vec{DC} = \frac{1}{3}\vec{a}$.
Для нахождения вектора $\vec{MN}$ воспользуемся правилом сложения векторов, проложив путь от M к N через вершины параллелограмма, например, M $\rightarrow$ B $\rightarrow$ A $\rightarrow$ D $\rightarrow$ N:
$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DN}$
Выразим каждый из этих векторов через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{MB} = -\vec{BM} = -\frac{7}{9}\vec{b}$
$\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$
$\vec{AD} = \vec{b}$
$\vec{DN} = \frac{1}{3}\vec{a}$
Подставляем все выражения:
$\vec{MN} = -\frac{7}{9}\vec{b} - \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{a}$
Сгруппируем слагаемые с $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{MN} = (-\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{a}) + (-\frac{7}{9}\vec{b} + \vec{b})$
$\vec{MN} = (-\frac{3}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{a}) + (-\frac{7}{9}\vec{b} + \frac{9}{9}\vec{b})$
$\vec{x} = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{9}\vec{b}$

Ответ: $\vec{x} = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{9}\vec{b}$

6)

Дано:

Параллелограмм ABCD.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AD} = \vec{b}$
$AM:MB = 1:3$.
$BN:NC = 7:9$.
$\vec{MN} = \vec{x}$

Найти:

$\vec{x}$

Решение:

В параллелограмме ABCD: $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.
Точка M делит сторону AB в отношении $AM:MB = 1:3$. Следовательно, $\vec{AM} = \frac{1}{1+3}\vec{AB} = \frac{1}{4}\vec{a}$.
Точка N делит сторону BC в отношении $BN:NC = 7:9$. Следовательно, $\vec{BN} = \frac{7}{7+9}\vec{BC} = \frac{7}{16}\vec{b}$.
Для нахождения вектора $\vec{MN}$ воспользуемся правилом сложения векторов, проложив путь от M к N через вершину B:
$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN}$
Выразим $\vec{MB}$ через $\vec{a}$. Так как $AM:MB = 1:3$, то $MB = \frac{3}{4}AB$. Соответственно, $\vec{MB} = \frac{3}{4}\vec{AB} = \frac{3}{4}\vec{a}$.
Подставляем выражения для $\vec{MB}$ и $\vec{BN}$:
$\vec{x} = \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{7}{16}\vec{b}$

Ответ: $\vec{x} = \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{7}{16}\vec{b}$

7)

Дано:

Ромб ABCD.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AD} = \vec{b}$
$DK = KC$.
$BE:EC = 3:1$.

Найти:

$\vec{AE}$, $\vec{AK}$, $\vec{KE}$

Решение:

В ромбе ABCD противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.

Для $\vec{AE}$:
Точка E делит сторону BC в отношении $BE:EC = 3:1$. Следовательно, $\vec{BE} = \frac{3}{3+1}\vec{BC} = \frac{3}{4}\vec{b}$.
Используя правило сложения векторов:
$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}$
$\vec{AE} = \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

Для $\vec{AK}$:
Точка K - середина DC ($DK=KC$). Следовательно, $\vec{DK} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.
Мы знаем, что $\vec{DC} = \vec{a}$. Поэтому $\vec{DK} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
Используя правило сложения векторов:
$\vec{AK} = \vec{AD} + \vec{DK}$
$\vec{AK} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$

Для $\vec{KE}$:
Для нахождения вектора $\vec{KE}$ воспользуемся правилом вычитания векторов (вычитание векторов, имеющих общее начало A):
$\vec{KE} = \vec{AE} - \vec{AK}$
Подставим полученные выражения для $\vec{AE}$ и $\vec{AK}$:
$\vec{KE} = (\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}) - (\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a})$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$\vec{KE} = \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} - \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$
$\vec{KE} = (1 - \frac{1}{2})\vec{a} + (\frac{3}{4} - 1)\vec{b}$
$\vec{KE} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AE} = \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$, $\vec{AK} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$, $\vec{KE} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$

8)

Дано:

Прямоугольник ABCD.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AD} = \vec{b}$
$AN = NB$.
$BM:MC = 4:3$.

Найти:

$\vec{AM}$, $\vec{MD}$, $\vec{MN}$

Решение:

В прямоугольнике ABCD противоположные стороны равны и параллельны: $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.

Для $\vec{AM}$:
Точка M делит сторону BC в отношении $BM:MC = 4:3$. Следовательно, $\vec{BM} = \frac{4}{4+3}\vec{BC} = \frac{4}{7}\vec{b}$.
Используя правило сложения векторов:
$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$
$\vec{AM} = \vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$

Для $\vec{MD}$:
Для нахождения вектора $\vec{MD}$ воспользуемся правилом вычитания векторов (вычитание векторов, имеющих общее начало A):
$\vec{MD} = \vec{AD} - \vec{AM}$
Подставим полученное выражение для $\vec{AM}$:
$\vec{MD} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b})$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$\vec{MD} = \vec{b} - \vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$
$\vec{MD} = -\vec{a} + (1 - \frac{4}{7})\vec{b}$
$\vec{MD} = -\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

Для $\vec{MN}$:
Точка N - середина AB ($AN=NB$). Следовательно, $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
Для нахождения вектора $\vec{MN}$ воспользуемся правилом вычитания векторов (вычитание векторов, имеющих общее начало A):
$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM}$
Подставим полученные выражения для $\vec{AN}$ и $\vec{AM}$:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{a} - (\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b})$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$
$\vec{MN} = (\frac{1}{2} - 1)\vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$
$\vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AM} = \vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$, $\vec{MD} = -\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$, $\vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$