Страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Используя рисунок, упростите выражение:

ABCD – параллелограмм;

1) $\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{OB}$;

2) $\vec{AB} - \vec{DA} + \vec{CD} - \vec{OD}$.

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм. $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Найти:

Упростить выражения:

1) $\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{OB}$

2) $\vec{AB} - \vec{DA} + \vec{CD} - \vec{OD}$

Решение:

В параллелограмме $ABCD$ выполняются следующие векторные соотношения:

• Противоположные стороны равны по длине и параллельны. Векторы, направленные вдоль противоположных сторон, могут быть равны или противоположны. Например: $\vec{AB} = \vec{DC}$, $\vec{BC} = \vec{AD}$, $\vec{BA} = \vec{CD}$, $\vec{CD} = -\vec{AB}$.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. То есть $O$ является серединой $AC$ и $BD$. Это означает, что $\vec{AO} = \vec{OC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD}$. Также отсюда следуют равенства: $\vec{DO} = \vec{OB}$, $\vec{CO} = \vec{OA}$, $\vec{OA} = -\vec{OC}$, $\vec{OB} = -\vec{OD}$.
• Правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.
• Вычитание вектора равно сложению противоположного вектора: $\vec{X} - \vec{Y} = \vec{X} + (-\vec{Y}) = \vec{X} + \vec{Y}'$, где $\vec{Y}'$ имеет ту же длину, что и $\vec{Y}$, но противоположное направление.

1) Упростите выражение $\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{OB}$

Применим известные векторные равенства:

• В параллелограмме $ABCD$, вектор $\vec{BA}$ равен вектору $\vec{CD}$ (они параллельны, имеют одинаковую длину и направление). То есть, $\vec{BA} = \vec{CD}$.
• Вычитание вектора $\vec{OB}$ равно сложению вектора $\vec{BO}$ (противоположного по направлению): $-\vec{OB} = \vec{BO}$.

Подставим эти соотношения в исходное выражение: $\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{OB} = \vec{CB} + \vec{CD} - \vec{CD} + \vec{BO}$

Векторы $\vec{CD}$ и $-\vec{CD}$ взаимно уничтожаются: $\vec{CB} + \vec{BO}$

Используя правило сложения векторов (правило треугольника), $\vec{CB} + \vec{BO}$ образует вектор от начала первого вектора к концу второго: $\vec{CB} + \vec{BO} = \vec{CO}$

Ответ: $\vec{CO}$

2) Упростите выражение $\vec{AB} - \vec{DA} + \vec{CD} - \vec{OD}$

Применим известные векторные равенства:

• В параллелограмме $ABCD$, вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{AB}$ по направлению, но равен ему по длине. То есть, $\vec{CD} = -\vec{AB}$.
• Вычитание вектора $\vec{DA}$ равно сложению вектора $\vec{AD}$: $-\vec{DA} = \vec{AD}$.
• Вычитание вектора $\vec{OD}$ равно сложению вектора $\vec{DO}$: $-\vec{OD} = \vec{DO}$.

Подставим эти соотношения в исходное выражение: $\vec{AB} - \vec{DA} + \vec{CD} - \vec{OD} = \vec{AB} + \vec{AD} + (-\vec{AB}) + \vec{DO}$

Векторы $\vec{AB}$ и $-\vec{AB}$ взаимно уничтожаются: $\vec{AD} + \vec{DO}$

Используя правило сложения векторов (правило треугольника), $\vec{AD} + \vec{DO}$ образует вектор от начала первого вектора к концу второго: $\vec{AD} + \vec{DO} = \vec{AO}$

Ответ: $\vec{AO}$

4. Найдите длину вектора $\vec{x}$:

1)

$|\vec{x}| = |\vec{BB_1} - \vec{BA} - \vec{B_1C}| - ? $

2)

$|\vec{x}| = |\vec{BC_1} - \vec{AC} + \vec{AB}| - ? $

1)

Дано:

Треугольник ABC.

Высота $BB_1 \perp AC$.

$AB = 10$.

$BB_1 = 8$.

Углы $\angle A = \angle C$ (что означает, что треугольник ABC равнобедренный, то есть $AB = BC$).

Найти:

$|\vec{x}| = |\vec{BB_1} - \vec{BA} - \vec{B_1C}|$

Решение:

Упростим выражение для вектора $\vec{x}$:

$\vec{x} = \vec{BB_1} - \vec{BA} - \vec{B_1C}$

Воспользуемся свойствами векторов: $\vec{XY} = -\vec{YX}$.

Тогда $-\vec{BA} = \vec{AB}$ и $-\vec{B_1C} = \vec{CB_1}$.

Подставим это в выражение для $\vec{x}$:

$\vec{x} = \vec{BB_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$

Перегруппируем слагаемые, используя правило треугольника ($\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$):

$\vec{x} = (\vec{AB} + \vec{BB_1}) + \vec{CB_1}$

$\vec{x} = \vec{AB_1} + \vec{CB_1}$

Из условия $\angle A = \angle C$ следует, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Высота $BB_1$ в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $B_1$ является серединой отрезка AC.

Если $B_1$ — середина отрезка AC, то векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{CB_1}$ имеют равные длины и противоположные направления (так как $\vec{AB_1}$ направлен от A к $B_1$, а $\vec{CB_1}$ от C к $B_1$).

Таким образом, $\vec{CB_1} = -\vec{AB_1}$.

Подставим это в выражение для $\vec{x}$:

$\vec{x} = \vec{AB_1} + (-\vec{AB_1})$

$\vec{x} = \vec{0}$ (нулевой вектор)

Длина нулевого вектора равна нулю.

Значения $AB=10$ и $BB_1=8$ в данном случае не требуются для нахождения длины вектора $\vec{x}$.

Ответ: $0$

2)

Дано:

Треугольник ABC.

Высота $CC_1 \perp AB$.

$AC_1 = 3$.

$AC = 5$.

Найти:

$|\vec{x}| = |\vec{BC_1} - \vec{AC} + \vec{AB}|$

Решение:

Упростим выражение для вектора $\vec{x}$:

$\vec{x} = \vec{BC_1} - \vec{AC} + \vec{AB}$

Воспользуемся свойствами векторов: $\vec{XY} = -\vec{YX}$ и правилом треугольника $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.

Перепишем $\vec{AC}$ как $-\vec{CA}$:

$\vec{x} = \vec{BC_1} + (-\vec{AC}) + \vec{AB}$

$\vec{x} = \vec{BC_1} + \vec{CA} + \vec{AB}$

Переставим слагаемые для применения правила треугольника:

$\vec{x} = \vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BC_1}$

Применим правило треугольника к первым двум векторам: $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

$\vec{x} = \vec{CB} + \vec{BC_1}$

Теперь применим правило треугольника к этим двум векторам:

$\vec{x} = \vec{CC_1}$

Таким образом, длина вектора $\vec{x}$ равна длине отрезка $CC_1$ (высоты).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC_1$, так как $CC_1 \perp AB$. Прямой угол находится в вершине $C_1$.

В этом треугольнике $AC$ является гипотенузой, а $AC_1$ и $CC_1$ — катетами.

По теореме Пифагора:

$AC^2 = AC_1^2 + CC_1^2$

Подставим известные значения:

$5^2 = 3^2 + CC_1^2$

$25 = 9 + CC_1^2$

$CC_1^2 = 25 - 9$

$CC_1^2 = 16$

$CC_1 = \sqrt{16}$

$CC_1 = 4$

Следовательно, длина вектора $\vec{x}$ равна $4$.

Ответ: $4$

1. Выразите векторы через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1)

$\vec{x} - ?$

2)

$BC \parallel MN; \vec{x} - ?$

3)

$BM = MC; \vec{x} - ?$

4)

$FN = NK, ME = MK; \vec{x} - ?$

5)

$BM : MC = 7 : 2, DN : NC = 1 : 2; \vec{x} - ?$

6)

$AM : MB = 1 : 3, BN : NC = 7 : 9; \vec{x} - ?$

7)

$DK = KC, BE : EC = 3 : 1; \vec{AE} - ? \vec{AK} - ? \vec{KE} - ?$

8)

$AN = NB, BM : MC = 4 : 3; \vec{AM} - ? \vec{MD} - ? \vec{MN} - ?$

1)

Дано:

Треугольник ABC.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AC} = \vec{b}$
N - середина BC.
$\vec{AN} = \vec{x}$

Найти:

$\vec{x}$

Решение:

Вектор $\vec{AN}$ является медианой треугольника ABC, проведенной к стороне BC (так как N - середина BC).
Для медианы, проведенной из вершины A к середине стороны BC, справедливо следующее векторное соотношение:
$\vec{AN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
Подставляя данные из условия задачи, получаем:
$\vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

Ответ: $\vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

2)

Дано:

Треугольник ABC.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AC} = \vec{b}$
M - середина AB.
N - середина AC.
$\vec{MN} = \vec{x}$

Найти:

$\vec{x}$

Решение:

Вектор $\vec{MN}$ соединяет середины сторон AB и AC. Следовательно, MN является средней линией треугольника ABC.
Свойство средней линии гласит, что она параллельна третьей стороне и равна ее половине по длине, а также сонаправлена с ней.
Таким образом, $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.
Выразим вектор $\vec{BC}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$
Теперь подставим это выражение в формулу для $\vec{x}$:
$\vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Ответ: $\vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

3)

Дано:

Параллелограмм ABCD.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AD} = \vec{b}$
M - середина BC.
$\vec{DM} = \vec{x}$

Найти:

$\vec{x}$

Решение:

В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.
Поскольку M - середина BC, то $\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
Для нахождения вектора $\vec{DM}$ воспользуемся правилом сложения векторов (по пути D $\rightarrow$ C $\rightarrow$ M):
$\vec{DM} = \vec{DC} + \vec{CM}$
Мы знаем, что $\vec{DC} = \vec{a}$.
Вектор $\vec{CM}$ противоположен вектору $\vec{MC}$ и имеет ту же длину, что и $\vec{BM}$. Так как $\vec{MC} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$, то $\vec{CM} = -\frac{1}{2}\vec{b}$.
Подставляем значения:
$\vec{x} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{x} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

4)

Дано:

Четырехугольник PFEK.
$\vec{PF} = \vec{a}$
$\vec{PE} = \vec{b}$
N - середина FK.
M - середина KE.
$\vec{MN} = \vec{x}$

Найти:

$\vec{x}$

Решение:

Рассмотрим треугольник FKE. Точка N является серединой стороны FK, а точка M является серединой стороны KE.
Следовательно, отрезок MN является средней линией треугольника FKE.
По свойству средней линии, вектор $\vec{MN}$ равен половине вектора $\vec{FE}$ и сонаправлен с ним:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{FE}$
Выразим вектор $\vec{FE}$ через известные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (используя правило вычитания векторов из одной точки P):
$\vec{FE} = \vec{PE} - \vec{PF}$
$\vec{FE} = \vec{b} - \vec{a}$
Теперь подставим это выражение в формулу для $\vec{x}$:
$\vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

Ответ: $\vec{x} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$

5)

Дано:

Параллелограмм ABCD.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AD} = \vec{b}$
$BM:MC = 7:2$.
$DN:NC = 1:2$.
$\vec{MN} = \vec{x}$

Найти:

$\vec{x}$

Решение:

В параллелограмме ABCD: $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.
Точка M делит сторону BC в отношении $BM:MC = 7:2$. Следовательно, $\vec{BM} = \frac{7}{7+2}\vec{BC} = \frac{7}{9}\vec{b}$.
Точка N делит сторону DC в отношении $DN:NC = 1:2$. Следовательно, $\vec{DN} = \frac{1}{1+2}\vec{DC} = \frac{1}{3}\vec{a}$.
Для нахождения вектора $\vec{MN}$ воспользуемся правилом сложения векторов, проложив путь от M к N через вершины параллелограмма, например, M $\rightarrow$ B $\rightarrow$ A $\rightarrow$ D $\rightarrow$ N:
$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DN}$
Выразим каждый из этих векторов через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{MB} = -\vec{BM} = -\frac{7}{9}\vec{b}$
$\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$
$\vec{AD} = \vec{b}$
$\vec{DN} = \frac{1}{3}\vec{a}$
Подставляем все выражения:
$\vec{MN} = -\frac{7}{9}\vec{b} - \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{a}$
Сгруппируем слагаемые с $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{MN} = (-\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{a}) + (-\frac{7}{9}\vec{b} + \vec{b})$
$\vec{MN} = (-\frac{3}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{a}) + (-\frac{7}{9}\vec{b} + \frac{9}{9}\vec{b})$
$\vec{x} = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{9}\vec{b}$

Ответ: $\vec{x} = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{9}\vec{b}$

6)

Дано:

Параллелограмм ABCD.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AD} = \vec{b}$
$AM:MB = 1:3$.
$BN:NC = 7:9$.
$\vec{MN} = \vec{x}$

Найти:

$\vec{x}$

Решение:

В параллелограмме ABCD: $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.
Точка M делит сторону AB в отношении $AM:MB = 1:3$. Следовательно, $\vec{AM} = \frac{1}{1+3}\vec{AB} = \frac{1}{4}\vec{a}$.
Точка N делит сторону BC в отношении $BN:NC = 7:9$. Следовательно, $\vec{BN} = \frac{7}{7+9}\vec{BC} = \frac{7}{16}\vec{b}$.
Для нахождения вектора $\vec{MN}$ воспользуемся правилом сложения векторов, проложив путь от M к N через вершину B:
$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN}$
Выразим $\vec{MB}$ через $\vec{a}$. Так как $AM:MB = 1:3$, то $MB = \frac{3}{4}AB$. Соответственно, $\vec{MB} = \frac{3}{4}\vec{AB} = \frac{3}{4}\vec{a}$.
Подставляем выражения для $\vec{MB}$ и $\vec{BN}$:
$\vec{x} = \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{7}{16}\vec{b}$

Ответ: $\vec{x} = \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{7}{16}\vec{b}$

7)

Дано:

Ромб ABCD.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AD} = \vec{b}$
$DK = KC$.
$BE:EC = 3:1$.

Найти:

$\vec{AE}$, $\vec{AK}$, $\vec{KE}$

Решение:

В ромбе ABCD противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.

Для $\vec{AE}$:
Точка E делит сторону BC в отношении $BE:EC = 3:1$. Следовательно, $\vec{BE} = \frac{3}{3+1}\vec{BC} = \frac{3}{4}\vec{b}$.
Используя правило сложения векторов:
$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}$
$\vec{AE} = \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

Для $\vec{AK}$:
Точка K - середина DC ($DK=KC$). Следовательно, $\vec{DK} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.
Мы знаем, что $\vec{DC} = \vec{a}$. Поэтому $\vec{DK} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
Используя правило сложения векторов:
$\vec{AK} = \vec{AD} + \vec{DK}$
$\vec{AK} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$

Для $\vec{KE}$:
Для нахождения вектора $\vec{KE}$ воспользуемся правилом вычитания векторов (вычитание векторов, имеющих общее начало A):
$\vec{KE} = \vec{AE} - \vec{AK}$
Подставим полученные выражения для $\vec{AE}$ и $\vec{AK}$:
$\vec{KE} = (\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}) - (\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a})$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$\vec{KE} = \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} - \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$
$\vec{KE} = (1 - \frac{1}{2})\vec{a} + (\frac{3}{4} - 1)\vec{b}$
$\vec{KE} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AE} = \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$, $\vec{AK} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$, $\vec{KE} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$

8)

Дано:

Прямоугольник ABCD.
$\vec{AB} = \vec{a}$
$\vec{AD} = \vec{b}$
$AN = NB$.
$BM:MC = 4:3$.

Найти:

$\vec{AM}$, $\vec{MD}$, $\vec{MN}$

Решение:

В прямоугольнике ABCD противоположные стороны равны и параллельны: $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$.

Для $\vec{AM}$:
Точка M делит сторону BC в отношении $BM:MC = 4:3$. Следовательно, $\vec{BM} = \frac{4}{4+3}\vec{BC} = \frac{4}{7}\vec{b}$.
Используя правило сложения векторов:
$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$
$\vec{AM} = \vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$

Для $\vec{MD}$:
Для нахождения вектора $\vec{MD}$ воспользуемся правилом вычитания векторов (вычитание векторов, имеющих общее начало A):
$\vec{MD} = \vec{AD} - \vec{AM}$
Подставим полученное выражение для $\vec{AM}$:
$\vec{MD} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b})$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$\vec{MD} = \vec{b} - \vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$
$\vec{MD} = -\vec{a} + (1 - \frac{4}{7})\vec{b}$
$\vec{MD} = -\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

Для $\vec{MN}$:
Точка N - середина AB ($AN=NB$). Следовательно, $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
Для нахождения вектора $\vec{MN}$ воспользуемся правилом вычитания векторов (вычитание векторов, имеющих общее начало A):
$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM}$
Подставим полученные выражения для $\vec{AN}$ и $\vec{AM}$:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{a} - (\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b})$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$
$\vec{MN} = (\frac{1}{2} - 1)\vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$
$\vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AM} = \vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$, $\vec{MD} = -\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$, $\vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{4}{7}\vec{b}$