Страница 212 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Укажите равные и коллинеарные векторы, если ABCD:

1) Квадрат

Равные векторы

$ \vec{AB} = \vec{DC} $

$ \vec{BC} = \vec{AD} $

$ \vec{AO} = \vec{OC} $

$ \vec{BO} = \vec{OD} $

Коллинеарные векторы

$ \vec{AD}, \vec{DA}, \vec{BC}, \vec{CB} $

$ \vec{AB}, \vec{BA}, \vec{DC}, \vec{CD} $

$ \vec{AC}, \vec{CA}, \vec{AO}, \vec{OC} $

$ \vec{BD}, \vec{DB}, \vec{BO}, \vec{OD} $

2) Ромб

Равные векторы

$ \vec{AB} = \vec{DC} $

$ \vec{BC} = \vec{AD} $

$ \vec{AO} = \vec{OC} $

$ \vec{BO} = \vec{OD} $

Коллинеарные векторы

$ \vec{AD}, \vec{DA}, \vec{BC}, \vec{CB} $

$ \vec{AB}, \vec{BA}, \vec{DC}, \vec{CD} $

$ \vec{AC}, \vec{CA}, \vec{AO}, \vec{OC} $

$ \vec{BD}, \vec{DB}, \vec{BO}, \vec{OD} $

Решение

Для решения задачи определим понятия равных и коллинеарных векторов, а также свойства квадрата и ромба.

• Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

• Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Их направления могут быть одинаковыми или противоположными.

1) квадрат

В квадрате ABCD все стороны равны, противоположные стороны параллельны. Диагонали равны, делятся точкой пересечения O пополам и перпендикулярны.

Равные векторы:

• $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$: точка O является серединой диагонали AC, и оба вектора направлены в одном и том же направлении (от A к O и от O к C). Следовательно, они равны.

• $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$: точка O является серединой диагонали BD, и оба вектора направлены в одном и том же направлении (от B к O и от O к D). Следовательно, они равны.

Векторы сторон, представленные на изображении ($\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{CB}$, $\vec{CD}$), не образуют равных пар в том виде, как они изображены (например, $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны, но противоположно направлены).

Ответ: $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$; $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$.

Коллинеарные векторы:

• $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$: эти векторы лежат на параллельных прямых AB и CD (противоположные стороны квадрата).

• $\vec{AD}$ и $\vec{CB}$: эти векторы лежат на параллельных прямых AD и CB (противоположные стороны квадрата).

• $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$: эти векторы лежат на одной прямой AC.

• $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$: эти векторы лежат на одной прямой BD.

Ответ: $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$; $\vec{AD}$ и $\vec{CB}$; $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$; $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$.

2) ромб

В ромбе ABCD все стороны равны, противоположные стороны параллельны. Диагонали делятся точкой пересечения O пополам и перпендикулярны. В отличие от квадрата, диагонали ромба в общем случае не равны по длине.

Равные векторы:

• $\vec{AO}$ и $\vec{CO}$: точка O является серединой диагонали AC, но векторы $\vec{AO}$ (от A к O) и $\vec{CO}$ (от C к O) направлены в противоположные стороны. Следовательно, они не равны ($\vec{AO} = -\vec{CO}$).

• $\vec{BO}$ и $\vec{DO}$: точка O является серединой диагонали BD, но векторы $\vec{BO}$ (от B к O) и $\vec{DO}$ (от D к O) направлены в противоположные стороны. Следовательно, они не равны ($\vec{BO} = -\vec{DO}$).

• $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: в общем случае ромба диагонали не равны по длине, поэтому эти векторы не равны.

Среди векторов, представленных на изображении для ромба (2), равных пар нет.

Ответ: Нет равных векторов среди указанных.

Коллинеарные векторы:

• $\vec{AO}$ и $\vec{CO}$: эти векторы лежат на одной прямой AC.

• $\vec{AO}$ и $\vec{AC}$: эти векторы лежат на одной прямой AC.

• $\vec{CO}$ и $\vec{AC}$: эти векторы лежат на одной прямой AC.

• $\vec{BO}$ и $\vec{DO}$: эти векторы лежат на одной прямой BD.

• $\vec{BO}$ и $\vec{BD}$: эти векторы лежат на одной прямой BD.

• $\vec{DO}$ и $\vec{BD}$: эти векторы лежат на одной прямой BD.

Ответ: $\vec{AO}$ и $\vec{CO}$; $\vec{AO}$ и $\vec{AC}$; $\vec{CO}$ и $\vec{AC}$; $\vec{BO}$ и $\vec{DO}$; $\vec{BO}$ и $\vec{BD}$; $\vec{DO}$ и $\vec{BD}$.

2. Найдите длину вектора:

1)

$ \left | \overline{AB} \right | - ? $

2)

$ \left | \overline{MK} \right | - ? $

3)

$ \left | \overline{CA} \right | - ? \; \left | \overline{AB} \right | - ? $

4)

$ \left | \overline{CB} \right | - ? \; \left | \overline{BA} \right | - ? $

5)

$ MN \parallel AC; \; \left | \overline{NM} \right | - ? $

6)

$ MN \parallel AD; \; \left | \overline{NM} \right | - ? $

1)

Дано

Координаты точки A: $A(4, 0)$

Координаты точки B: $B(1, 2)$

Найти

$|\vec{AB}|$

Решение

Для нахождения длины вектора $\vec{AB}$, сначала определим его координаты. Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(x_B - x_A, y_B - y_A)$, если A - начало, B - конец. Однако, на изображении стрелка указывает от точки B к точке A, что соответствует вектору $\vec{BA}$. Независимо от направления, длина вектора (длина отрезка) будет одинаковой. Будем считать, что требуется найти длину отрезка BA.

Координаты начала вектора (точки B): $x_1 = 1, y_1 = 2$

Координаты конца вектора (точки A): $x_2 = 4, y_2 = 0$

Координаты вектора $\vec{BA}$: $(4 - 1, 0 - 2) = (3, -2)$

Длина вектора $|\vec{BA}|$ (или $|\vec{AB}|$) вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x_v^2 + y_v^2}$.

$|\vec{AB}| = \sqrt{(4 - 1)^2 + (0 - 2)^2}$

$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2}$

$|\vec{AB}| = \sqrt{9 + 4}$

$|\vec{AB}| = \sqrt{13}$

Ответ: $\sqrt{13}$

2)

Дано

Координаты точки M: $M(1, 0)$

Координаты точки K: $K(5, 2)$

Найти

$|\vec{MK}|$

Решение

Для нахождения длины вектора $\vec{MK}$, сначала определим его координаты. Вектор $\vec{MK}$ идет от M к K.

Координаты начала вектора (точки M): $x_M = 1, y_M = 0$

Координаты конца вектора (точки K): $x_K = 5, y_K = 2$

Координаты вектора $\vec{MK}$: $(x_K - x_M, y_K - y_M) = (5 - 1, 2 - 0) = (4, 2)$

Длина вектора $|\vec{MK}|$ вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x_v^2 + y_v^2}$.

$|\vec{MK}| = \sqrt{4^2 + 2^2}$

$|\vec{MK}| = \sqrt{16 + 4}$

$|\vec{MK}| = \sqrt{20}$

$|\vec{MK}| = \sqrt{4 \cdot 5}$

$|\vec{MK}| = 2\sqrt{5}$

Ответ: $2\sqrt{5}$

3)

Дано

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине B.

Длина катета BC: $BC = 4$

Угол $\angle BAC = 30^\circ$

Найти

$|\vec{CA}|$

$|\vec{AB}|$

Решение

В прямоугольном треугольнике ABC:

Используем тригонометрические соотношения для нахождения длин сторон.

Для нахождения $AB$ (длина вектора $|\vec{AB}|$):

$\tan(\angle BAC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AB}$

$\tan(30^\circ) = \frac{4}{AB}$

Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{AB}$

$AB = 4\sqrt{3}$

Для нахождения $AC$ (длина вектора $|\vec{CA}|$):

$\sin(\angle BAC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AC}$

$\sin(30^\circ) = \frac{4}{AC}$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} = \frac{4}{AC}$

$AC = 4 \cdot 2 = 8$

Длина вектора $|\vec{CA}|$ равна длине отрезка AC.

Длина вектора $|\vec{AB}|$ равна длине отрезка AB.

Ответ: $|\vec{CA}| = 8$, $|\vec{AB}| = 4\sqrt{3}$

4)

Дано

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C.

Длина катета AC: $AC = 3$

Угол $\angle CBA = 45^\circ$

Найти

$|\vec{CB}|$

$|\vec{BA}|$

Решение

В прямоугольном треугольнике ABC:

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Так как $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 45^\circ$, то:

$\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Поскольку $\angle A = \angle B = 45^\circ$, треугольник ABC является равнобедренным. Следовательно, катеты $AC$ и $BC$ равны.

$BC = AC = 3$

Длина вектора $|\vec{CB}|$ равна длине отрезка BC.

Для нахождения $AB$ (длина вектора $|\vec{BA}|$) используем теорему Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 3^2 + 3^2$

$AB^2 = 9 + 9$

$AB^2 = 18$

$AB = \sqrt{18}$

$AB = \sqrt{9 \cdot 2}$

$AB = 3\sqrt{2}$

Длина вектора $|\vec{BA}|$ равна длине отрезка AB.

Ответ: $|\vec{CB}| = 3$, $|\vec{BA}| = 3\sqrt{2}$

5)

Дано

Треугольник ABC.

Точка M - середина стороны AB.

Прямая MN параллельна AC ($MN \parallel AC$).

Длина стороны AC: $AC = 12$

Найти

$|\vec{NM}|$

Решение

По условию, M является серединой стороны AB, и отрезок MN параллелен стороне AC.

По определению, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Также, если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине.

Следовательно, MN является средней линией треугольника ABC, а N - середина стороны BC.

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна.

$MN = \frac{1}{2} AC$

$MN = \frac{1}{2} \cdot 12$

$MN = 6$

Длина вектора $|\vec{NM}|$ равна длине отрезка MN.

Ответ: $6$

6)

Дано

Трапеция ABCD.

Длина верхнего основания BC: $BC = 5$

Длина нижнего основания AD: $AD = 11$

Точка M - середина стороны AB.

Точка N - середина стороны CD.

Отрезок MN параллелен основаниям ($MN \parallel AD$, что также означает $MN \parallel BC$).

Найти

$|\vec{NM}|$

Решение

Отрезок MN, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований.

$MN = \frac{BC + AD}{2}$

$MN = \frac{5 + 11}{2}$

$MN = \frac{16}{2}$

$MN = 8$

Длина вектора $|\vec{NM}|$ равна длине отрезка MN.

Ответ: $8$