Страница 216 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Найдите $|\vec{x}|:$

$\vec{x}$: $(-2; 3)$

$|\vec{x}|$:

$\vec{x}$: $(\sqrt{2}; -\sqrt{3})$

$|\vec{x}|$:

$\vec{x}$: $(\frac{5}{13}; -\frac{12}{13})$

$|\vec{x}|$:

$\vec{x}$: $(\frac{8}{17}; -\frac{15}{17})$

$|\vec{x}|$:

$\vec{x}$: $(1; -5)$

$|\vec{x}|$:

$\vec{x}$: $(2\sqrt{3}; -1)$

$|\vec{x}|$:

$\vec{x}$: $(-\frac{4}{5}; \frac{3}{5})$

$|\vec{x}|$:

$\vec{x}$: $(1; \frac{4\sqrt{2}}{7})$

$|\vec{x}|$:

Вектор (-2; 3)

Дано

$\vec{x} = (-2; 3)$

Найти

$|\vec{x}|$

Решение

Модуль вектора $\vec{x} = (x_1; x_2)$ вычисляется по формуле: $|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ Для данного вектора $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Подставим значения в формулу: $|\vec{x}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Ответ: $\sqrt{13}$

Вектор ($\sqrt{2}$; $-\sqrt{3}$)

Дано

$\vec{x} = (\sqrt{2}; -\sqrt{3})$

Найти

$|\vec{x}|$

Решение

Модуль вектора $\vec{x} = (x_1; x_2)$ вычисляется по формуле: $|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ Для данного вектора $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$. Подставим значения в формулу: $|\vec{x}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

Вектор ($\frac{5}{13}$; $-\frac{12}{13}$)

Дано

$\vec{x} = (\frac{5}{13}; -\frac{12}{13})$

Найти

$|\vec{x}|$

Решение

Модуль вектора $\vec{x} = (x_1; x_2)$ вычисляется по формуле: $|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ Для данного вектора $x_1 = \frac{5}{13}$ и $x_2 = -\frac{12}{13}$. Подставим значения в формулу: $|\vec{x}| = \sqrt{(\frac{5}{13})^2 + (-\frac{12}{13})^2} = \sqrt{\frac{25}{169} + \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25 + 144}{169}} = \sqrt{\frac{169}{169}} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: $1$

Вектор ($\frac{8}{17}$; $-\frac{15}{17}$)

Дано

$\vec{x} = (\frac{8}{17}; -\frac{15}{17})$

Найти

$|\vec{x}|$

Решение

Модуль вектора $\vec{x} = (x_1; x_2)$ вычисляется по формуле: $|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ Для данного вектора $x_1 = \frac{8}{17}$ и $x_2 = -\frac{15}{17}$. Подставим значения в формулу: $|\vec{x}| = \sqrt{(\frac{8}{17})^2 + (-\frac{15}{17})^2} = \sqrt{\frac{64}{289} + \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{289}{289}} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: $1$

Вектор (1; -5)

Дано

$\vec{x} = (1; -5)$

Найти

$|\vec{x}|$

Решение

Модуль вектора $\vec{x} = (x_1; x_2)$ вычисляется по формуле: $|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ Для данного вектора $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$. Подставим значения в формулу: $|\vec{x}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$

Ответ: $\sqrt{26}$

Вектор ($2\sqrt{3}$; -1)

Дано

$\vec{x} = (2\sqrt{3}; -1)$

Найти

$|\vec{x}|$

Решение

Модуль вектора $\vec{x} = (x_1; x_2)$ вычисляется по формуле: $|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ Для данного вектора $x_1 = 2\sqrt{3}$ и $x_2 = -1$. Подставим значения в формулу: $|\vec{x}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{(4 \cdot 3) + 1} = \sqrt{12 + 1} = \sqrt{13}$

Ответ: $\sqrt{13}$

Вектор ($-\frac{4}{5}$; $\frac{3}{5}$)

Дано

$\vec{x} = (-\frac{4}{5}; \frac{3}{5})$

Найти

$|\vec{x}|$

Решение

Модуль вектора $\vec{x} = (x_1; x_2)$ вычисляется по формуле: $|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ Для данного вектора $x_1 = -\frac{4}{5}$ и $x_2 = \frac{3}{5}$. Подставим значения в формулу: $|\vec{x}| = \sqrt{(-\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: $1$

Вектор (1; $\frac{4\sqrt{2}}{7}$)

Дано

$\vec{x} = (1; \frac{4\sqrt{2}}{7})$

Найти

$|\vec{x}|$

Решение

Модуль вектора $\vec{x} = (x_1; x_2)$ вычисляется по формуле: $|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ Для данного вектора $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{4\sqrt{2}}{7}$. Подставим значения в формулу: $|\vec{x}| = \sqrt{1^2 + (\frac{4\sqrt{2}}{7})^2} = \sqrt{1 + \frac{16 \cdot 2}{49}} = \sqrt{1 + \frac{32}{49}} = \sqrt{\frac{49}{49} + \frac{32}{49}} = \sqrt{\frac{49 + 32}{49}} = \sqrt{\frac{81}{49}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}} = \frac{9}{7}$

Ответ: $\frac{9}{7}$

3. Найдите неизвестные координаты, если $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ – коллинеарные векторы:

1. $ \vec{a} = (-2; 3) $

$ \vec{b} = (6; y) $

2. $ \vec{a} = (x; -1) $

$ \vec{b} = (3; -4) $

3. $ \vec{a} = (5; y) $

$ \vec{b} = (\frac{1}{3}; 3) $

4. $ \vec{a} = (\sqrt{3}; \sqrt{2}) $

$ \vec{b} = (x; 3\sqrt{2}) $

5. $ \vec{a} = (x; 1\frac{2}{3}) $

$ \vec{b} = (6; 2) $

6. $ \vec{a} = (3\frac{1}{3}; 5) $

$ \vec{b} = (-2; y) $

Дано: Векторы $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$ коллинеарны.

Перевод в систему СИ: Не требуется, так как величины являются координатами векторов.

Найти: Неизвестные координаты (x или y) для каждой пары векторов, представленных в таблице.

Решение:

Условие коллинеарности двух векторов $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$ выражается равенством отношений их соответствующих координат: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$. Это условие эквивалентно $x_1 y_2 = x_2 y_1$.

Для первой пары векторов $\vec{a} = (-2; 3)$ и $\vec{b} = (6; y)$:

$(-2) \cdot y = 6 \cdot 3$

$-2y = 18$

$y = \frac{18}{-2}$

$y = -9$

Ответ: $y = -9$

Для второй пары векторов $\vec{a} = (x; -1)$ и $\vec{b} = (3; -4)$:

$x \cdot (-4) = 3 \cdot (-1)$

$-4x = -3$

$x = \frac{-3}{-4}$

$x = \frac{3}{4}$

Ответ: $x = \frac{3}{4}$

Для третьей пары векторов $\vec{a} = (5; y)$ и $\vec{b} = (\frac{1}{3}; 3)$:

$5 \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot y$

$15 = \frac{y}{3}$

$y = 15 \cdot 3$

$y = 45$

Ответ: $y = 45$

Для четвертой пары векторов $\vec{a} = (\sqrt{3}; \sqrt{2})$ и $\vec{b} = (x; 3\sqrt{2})$:

$\sqrt{3} \cdot (3\sqrt{2}) = x \cdot \sqrt{2}$

$3\sqrt{6} = x\sqrt{2}$

$x = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

$x = 3\sqrt{\frac{6}{2}}$

$x = 3\sqrt{3}$

Ответ: $x = 3\sqrt{3}$

Для пятой пары векторов $\vec{a} = (x; 1\frac{2}{3})$ и $\vec{b} = (6; 2)$. Сначала преобразуем смешанную дробь в обыкновенную: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Тогда $\vec{a} = (x; \frac{5}{3})$. Применяем условие коллинеарности:

$x \cdot 2 = 6 \cdot \frac{5}{3}$

$2x = \frac{30}{3}$

$2x = 10$

$x = \frac{10}{2}$

$x = 5$

Ответ: $x = 5$

Для шестой пары векторов $\vec{a} = (3\frac{1}{3}; 5)$ и $\vec{b} = (-2; y)$. Сначала преобразуем смешанную дробь в обыкновенную: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

Тогда $\vec{a} = (\frac{10}{3}; 5)$. Применяем условие коллинеарности:

$\frac{10}{3} \cdot y = (-2) \cdot 5$

$\frac{10y}{3} = -10$

$10y = -10 \cdot 3$

$10y = -30$

$y = \frac{-30}{10}$

$y = -3$

Ответ: $y = -3$

4. Заполните таблицу:

$\vec{a} = \{1; 3\}$, $\vec{b} = \{-2; 4\}$

$\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{a} - \vec{b}$

$2\vec{a}$

$0,5\vec{b}$

$2\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{a} - 3\vec{b}$

Дано:

$\vec{a} = \{1; 3\}$
$\vec{b} = \{-2; 4\}$

Найти:

$\vec{a} + \vec{b}$
$\vec{a} - \vec{b}$
$2\vec{a}$
$0,5\vec{b}$
$2\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{a} - 3\vec{b}$

Решение:

$\vec{a} + \vec{b}$

Для сложения векторов складываются их соответствующие координаты: $\vec{a} + \vec{b} = \{1 + (-2); 3 + 4\}$
$\vec{a} + \vec{b} = \{1 - 2; 7\}$
$\vec{a} + \vec{b} = \{-1; 7\}$

Ответ: $\vec{a} + \vec{b} = \{-1; 7\}$

$\vec{a} - \vec{b}$

Для вычитания векторов вычитаются их соответствующие координаты: $\vec{a} - \vec{b} = \{1 - (-2); 3 - 4\}$
$\vec{a} - \vec{b} = \{1 + 2; -1\}$
$\vec{a} - \vec{b} = \{3; -1\}$

Ответ: $\vec{a} - \vec{b} = \{3; -1\}$

$2\vec{a}$

Для умножения вектора на скаляр каждая координата вектора умножается на этот скаляр: $2\vec{a} = 2 \cdot \{1; 3\}$
$2\vec{a} = \{2 \cdot 1; 2 \cdot 3\}$
$2\vec{a} = \{2; 6\}$

Ответ: $2\vec{a} = \{2; 6\}$

$0,5\vec{b}$

Для умножения вектора на скаляр каждая координата вектора умножается на этот скаляр: $0,5\vec{b} = 0,5 \cdot \{-2; 4\}$
$0,5\vec{b} = \{0,5 \cdot (-2); 0,5 \cdot 4\}$
$0,5\vec{b} = \{-1; 2\}$

Ответ: $0,5\vec{b} = \{-1; 2\}$

$2\vec{a} - \vec{b}$

Сначала найдем $2\vec{a}$ (как показано выше): $2\vec{a} = \{2; 6\}$.
Теперь выполним вычитание векторов: $2\vec{a} - \vec{b} = \{2; 6\} - \{-2; 4\}$
$2\vec{a} - \vec{b} = \{2 - (-2); 6 - 4\}$
$2\vec{a} - \vec{b} = \{2 + 2; 2\}$
$2\vec{a} - \vec{b} = \{4; 2\}$

Ответ: $2\vec{a} - \vec{b} = \{4; 2\}$

$\vec{a} - 3\vec{b}$

Сначала найдем $3\vec{b}$: $3\vec{b} = 3 \cdot \{-2; 4\}$
$3\vec{b} = \{3 \cdot (-2); 3 \cdot 4\}$
$3\vec{b} = \{-6; 12\}$
Теперь выполним вычитание векторов: $\vec{a} - 3\vec{b} = \{1; 3\} - \{-6; 12\}$
$\vec{a} - 3\vec{b} = \{1 - (-6); 3 - 12\}$
$\vec{a} - 3\vec{b} = \{1 + 6; -9\}$
$\vec{a} - 3\vec{b} = \{7; -9\}$

Ответ: $\vec{a} - 3\vec{b} = \{7; -9\}$

5. Заполните таблицу:

$A(-3; 1), B(0; 2), C(2; -3), D(-1; 0)$

$\vec{AB}$

$\vec{DC}$

$\vec{AB} + \vec{CD}$

$-2\vec{AB}$

$\vec{BC} - \vec{AD}$

$\vec{BD}$

$\vec{AC}$

$\vec{BD} - \vec{AC}$

$\frac{1}{2}\vec{AC}$

$\vec{BC} + \vec{AD}$

Дано

точки с координатами: $A(-3; 1)$, $B(0; 2)$, $C(2; -3)$, $D(-1; 0)$.

Перевод в СИ не требуется, так как это задача на векторную алгебру в декартовой системе координат.

Найти

Координаты векторов и их комбинаций для заполнения таблицы.

Решение

Для каждой ячейки таблицы рассчитаем требуемые векторные величины. Общая формула для координат вектора $\vec{XY}$ с началом в точке $X(x_1, y_1)$ и концом в точке $Y(x_2, y_2)$ выглядит как $\vec{XY} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

$\vec{AB}$

Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся как разность координат конца $B$ и начала $A$.

$A(-3; 1)$, $B(0; 2)$

$\vec{AB} = (0 - (-3); 2 - 1) = (3; 1)$

Ответ: $(3; 1)$

$\vec{DC}$

Координаты вектора $\vec{DC}$ находятся как разность координат конца $C$ и начала $D$.

$D(-1; 0)$, $C(2; -3)$

$\vec{DC} = (2 - (-1); -3 - 0) = (3; -3)$

Ответ: $(3; -3)$

$\vec{AB} + \vec{CD}$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{CD}$:

$C(2; -3)$, $D(-1; 0)$

$\vec{CD} = (D_x - C_x; D_y - C_y) = (-1 - 2; 0 - (-3)) = (-3; 3)$

Теперь сложим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:

$\vec{AB} = (3; 1)$ (рассчитано ранее)

$\vec{AB} + \vec{CD} = (3 + (-3); 1 + 3) = (0; 4)$

Ответ: $(0; 4)$

$-2\vec{AB}$

Умножим каждую координату вектора $\vec{AB}$ на скаляр $-2$:

$\vec{AB} = (3; 1)$ (рассчитано ранее)

$-2\vec{AB} = (-2 \cdot 3; -2 \cdot 1) = (-6; -2)$

Ответ: $(-6; -2)$

$\vec{BC} - \vec{AD}$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{BC}$:

$B(0; 2)$, $C(2; -3)$

$\vec{BC} = (C_x - B_x; C_y - B_y) = (2 - 0; -3 - 2) = (2; -5)$

Затем найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$A(-3; 1)$, $D(-1; 0)$

$\vec{AD} = (D_x - A_x; D_y - A_y) = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)$

Теперь вычтем вектор $\vec{AD}$ из вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} - \vec{AD} = (2 - 2; -5 - (-1)) = (0; -5 + 1) = (0; -4)$

Ответ: $(0; -4)$

$\vec{BD}$

Координаты вектора $\vec{BD}$ находятся как разность координат конца $D$ и начала $B$.

$B(0; 2)$, $D(-1; 0)$

$\vec{BD} = (D_x - B_x; D_y - B_y) = (-1 - 0; 0 - 2) = (-1; -2)$

Ответ: $(-1; -2)$

$\vec{AC}$

Координаты вектора $\vec{AC}$ находятся как разность координат конца $C$ и начала $A$.

$A(-3; 1)$, $C(2; -3)$

$\vec{AC} = (C_x - A_x; C_y - A_y) = (2 - (-3); -3 - 1) = (5; -4)$

Ответ: $(5; -4)$

$\vec{BD} - \vec{AC}$

Вычтем вектор $\vec{AC}$ из вектора $\vec{BD}$:

$\vec{BD} = (-1; -2)$ (рассчитано ранее)

$\vec{AC} = (5; -4)$ (рассчитано ранее)

$\vec{BD} - \vec{AC} = (-1 - 5; -2 - (-4)) = (-6; -2 + 4) = (-6; 2)$

Ответ: $(-6; 2)$

$\frac{1}{2}\vec{AC}$

Умножим каждую координату вектора $\vec{AC}$ на скаляр $\frac{1}{2}$:

$\vec{AC} = (5; -4)$ (рассчитано ранее)

$\frac{1}{2}\vec{AC} = (\frac{1}{2} \cdot 5; \frac{1}{2} \cdot (-4)) = (2.5; -2)$

Ответ: $(2.5; -2)$

$\vec{BC} + \vec{AD}$

Сложим векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{BC} = (2; -5)$ (рассчитано ранее)

$\vec{AD} = (2; -1)$ (рассчитано ранее)

$\vec{BC} + \vec{AD} = (2 + 2; -5 + (-1)) = (4; -6)$

Ответ: $(4; -6)$