Страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Заполните таблицу, здесь $\alpha = \angle(\vec{a}, \vec{b})$:

1)

$\vec{a}$: $(-1; 1)$

$\vec{b}$: $(0; 1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$:

$\cos \alpha$:

2)

$\vec{a}$: $(2; 3)$

$\vec{b}$: $(-3; 0)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$:

$\cos \alpha$:

3)

$\vec{a}$: $(-2; -1)$

$\vec{b}$: $(1; 3)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$:

$\cos \alpha$:

4)

$\vec{a}$: $(1; -2)$

$\vec{b}$: $(4; 3)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$:

$\cos \alpha$:

5)

$\vec{a}$: $(1,5; 2)$

$\vec{b}$: $(2; -1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$:

$\cos \alpha$:

6)

$\vec{a}$: $(3; -4)$

$\vec{b}$: $(-6; 8)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$|\vec{a}|$:

$|\vec{b}|$:

$\cos \alpha$:

1)

Дано:

$ \vec{a} = (-1; 1) $

$ \vec{b} = (0; 1) $

Найти:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} $

$ |\vec{a}| $

$ |\vec{b}| $

$ \cos \alpha $

Решение:

Скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (1)(1) = 0 + 1 = 1 $.

Модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $.

Модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1 $.

Косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 $, $ |\vec{a}| = \sqrt{2} $, $ |\vec{b}| = 1 $, $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

2)

Дано:

$ \vec{a} = (2; 3) $

$ \vec{b} = (-3; 0) $

Найти:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} $

$ |\vec{a}| $

$ |\vec{b}| $

$ \cos \alpha $

Решение:

Скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-3) + (3)(0) = -6 + 0 = -6 $.

Модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $.

Модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 0} = \sqrt{9} = 3 $.

Косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-6}{\sqrt{13} \cdot 3} = \frac{-2}{\sqrt{13}} = \frac{-2\sqrt{13}}{13} $.

Ответ:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -6 $, $ |\vec{a}| = \sqrt{13} $, $ |\vec{b}| = 3 $, $ \cos \alpha = \frac{-2\sqrt{13}}{13} $.

3)

Дано:

$ \vec{a} = (-2; -1) $

$ \vec{b} = (1; 3) $

Найти:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} $

$ |\vec{a}| $

$ |\vec{b}| $

$ \cos \alpha $

Решение:

Скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(1) + (-1)(3) = -2 - 3 = -5 $.

Модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $.

Модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $.

Косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{2} $.

Ответ:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -5 $, $ |\vec{a}| = \sqrt{5} $, $ |\vec{b}| = \sqrt{10} $, $ \cos \alpha = \frac{-\sqrt{2}}{2} $.

4)

Дано:

$ \vec{a} = (1; -2) $

$ \vec{b} = (4; 3) $

Найти:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} $

$ |\vec{a}| $

$ |\vec{b}| $

$ \cos \alpha $

Решение:

Скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (-2)(3) = 4 - 6 = -2 $.

Модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $.

Модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $.

Косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-2}{\sqrt{5} \cdot 5} = \frac{-2}{5\sqrt{5}} = \frac{-2\sqrt{5}}{25} $.

Ответ:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -2 $, $ |\vec{a}| = \sqrt{5} $, $ |\vec{b}| = 5 $, $ \cos \alpha = \frac{-2\sqrt{5}}{25} $.

5)

Дано:

$ \vec{a} = (1.5; 2) $

$ \vec{b} = (2; -1) $

Найти:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} $

$ |\vec{a}| $

$ |\vec{b}| $

$ \cos \alpha $

Решение:

Скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1.5)(2) + (2)(-1) = 3 - 2 = 1 $.

Модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{(1.5)^2 + 2^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5 $.

Модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $.

Косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{2.5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\frac{5}{2}\sqrt{5}} = \frac{2}{5\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{25} $.

Ответ:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 $, $ |\vec{a}| = 2.5 $, $ |\vec{b}| = \sqrt{5} $, $ \cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{25} $.

6)

Дано:

$ \vec{a} = (3; -4) $

$ \vec{b} = (-6; 8) $

Найти:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} $

$ |\vec{a}| $

$ |\vec{b}| $

$ \cos \alpha $

Решение:

Скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(-6) + (-4)(8) = -18 - 32 = -50 $.

Модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $.

Модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $.

Косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-50}{5 \cdot 10} = \frac{-50}{50} = -1 $.

Ответ:

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -50 $, $ |\vec{a}| = 5 $, $ |\vec{b}| = 10 $, $ \cos \alpha = -1 $.

1. Составьте уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{AB}$:

1)2)3)4)5)6)

A $(2; 1)$ $(-1; 2)$ $(4; -3)$ $(-1; 3)$ $(-3; 1)$ $(-1; -2)$

B $(-3; 4)$ $(2; 0)$ $(0; -2)$ $(-2; -1)$ $(-1; 3)$ $(1; -4)$

(AB)

1)

дано:

точка $a(x_1, y_1) = a(2, 1)$

точка $b(x_2, y_2) = b(-3, 4)$

перевод данных в си: не требуется

найти:

уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{ab}$

решение:

используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

подставляем координаты точек a и b:

$\frac{x - 2}{-3 - 2} = \frac{y - 1}{4 - 1}$

$\frac{x - 2}{-5} = \frac{y - 1}{3}$

перемножаем крест-на-крест:

$3(x - 2) = -5(y - 1)$

$3x - 6 = -5y + 5$

переносим все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой $ax + by + c = 0$:

$3x + 5y - 6 - 5 = 0$

$3x + 5y - 11 = 0$

ответ: $3x + 5y - 11 = 0$

2)

дано:

точка $a(x_1, y_1) = a(-1, 2)$

точка $b(x_2, y_2) = b(2, 0)$

перевод данных в си: не требуется

найти:

уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{ab}$

решение:

используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

подставляем координаты точек a и b:

$\frac{x - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{y - 2}{0 - 2}$

$\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{-2}$

перемножаем крест-на-крест:

$-2(x + 1) = 3(y - 2)$

$-2x - 2 = 3y - 6$

переносим все члены в одну сторону:

$-2x - 3y - 2 + 6 = 0$

$-2x - 3y + 4 = 0$

умножаем уравнение на -1:

$2x + 3y - 4 = 0$

ответ: $2x + 3y - 4 = 0$

3)

дано:

точка $a(x_1, y_1) = a(4, -3)$

точка $b(x_2, y_2) = b(0, -2)$

перевод данных в си: не требуется

найти:

уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{ab}$

решение:

используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

подставляем координаты точек a и b:

$\frac{x - 4}{0 - 4} = \frac{y - (-3)}{-2 - (-3)}$

$\frac{x - 4}{-4} = \frac{y + 3}{1}$

перемножаем крест-на-крест:

$1(x - 4) = -4(y + 3)$

$x - 4 = -4y - 12$

переносим все члены в одну сторону:

$x + 4y - 4 + 12 = 0$

$x + 4y + 8 = 0$

ответ: $x + 4y + 8 = 0$

4)

дано:

точка $a(x_1, y_1) = a(-1, 3)$

точка $b(x_2, y_2) = b(-2, -1)$

перевод данных в си: не требуется

найти:

уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{ab}$

решение:

используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

подставляем координаты точек a и b:

$\frac{x - (-1)}{-2 - (-1)} = \frac{y - 3}{-1 - 3}$

$\frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 3}{-4}$

перемножаем крест-на-крест:

$-4(x + 1) = -1(y - 3)$

$-4x - 4 = -y + 3$

переносим все члены в одну сторону:

$-4x + y - 4 - 3 = 0$

$-4x + y - 7 = 0$

умножаем уравнение на -1:

$4x - y + 7 = 0$

ответ: $4x - y + 7 = 0$

5)

дано:

точка $a(x_1, y_1) = a(-3, 1)$

точка $b(x_2, y_2) = b(-1, 3)$

перевод данных в си: не требуется

найти:

уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{ab}$

решение:

используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

подставляем координаты точек a и b:

$\frac{x - (-3)}{-1 - (-3)} = \frac{y - 1}{3 - 1}$

$\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{2}$

так как знаменатели равны и не равны нулю, числители также должны быть равны:

$x + 3 = y - 1$

переносим все члены в одну сторону:

$x - y + 3 + 1 = 0$

$x - y + 4 = 0$

ответ: $x - y + 4 = 0$

6)

дано:

точка $a(x_1, y_1) = a(-1, -2)$

точка $b(x_2, y_2) = b(1, -4)$

перевод данных в си: не требуется

найти:

уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{ab}$

решение:

используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

подставляем координаты точек a и b:

$\frac{x - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{y - (-2)}{-4 - (-2)}$

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{-2}$

сокращаем знаменатели на 2:

$\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{-1}$

перемножаем крест-на-крест:

$-1(x + 1) = 1(y + 2)$

$-x - 1 = y + 2$

переносим все члены в одну сторону:

$-x - y - 1 - 2 = 0$

$-x - y - 3 = 0$

умножаем уравнение на -1:

$x + y + 3 = 0$

ответ: $x + y + 3 = 0$

2. Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм, если:

1) $A(2; -1)$, $B(5; -3)$, $C(-2; 11)$, $D(-5; 13);$

2) $A(1; 1)$, $B(3; 5)$, $C(9; -1)$, $D(7; 5).$

1) A(2; -1), B(5; -3), C(-2; 11), D(-5; 13);

Дано:

$A(2; -1)$, $B(5; -3)$, $C(-2; 11)$, $D(-5; 13)$

Найти:

Доказать, что $ABCD$ - параллелограмм.

Решение:

Для того, чтобы четырехугольник $ABCD$ был параллелограммом, его диагонали должны пересекаться в одной точке (их середины должны совпадать). Найдем координаты середины диагонали $AC$, $M_{AC}$, по формуле середины отрезка $M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$:

$M_{AC} = \left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{-1+11}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right) = (0, 5)$

Теперь найдем координаты середины диагонали $BD$, $M_{BD}$:

$M_{BD} = \left(\frac{5+(-5)}{2}, \frac{-3+13}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right) = (0, 5)$

Сравним координаты середин диагоналей.

Поскольку $M_{AC} = M_{BD} = (0, 5)$, середины диагоналей совпадают.

Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: $ABCD$ - параллелограмм.

2) A(1; 1), B(3; 5), C(9; -1), D(7; 5).

Дано:

$A(1; 1)$, $B(3; 5)$, $C(9; -1)$, $D(7; 5)$

Найти:

Доказать, что $ABCD$ - параллелограмм.

Решение:

Для того, чтобы четырехугольник $ABCD$ был параллелограммом, его диагонали должны пересекаться в одной точке (их середины должны совпадать). Найдем координаты середины диагонали $AC$, $M_{AC}$, по формуле середины отрезка $M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$:

$M_{AC} = \left(\frac{1+9}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{0}{2}\right) = (5, 0)$

Теперь найдем координаты середины диагонали $BD$, $M_{BD}$:

$M_{BD} = \left(\frac{3+7}{2}, \frac{5+5}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{10}{2}\right) = (5, 5)$

Сравним координаты середин диагоналей.

Поскольку $M_{AC} = (5, 0)$ и $M_{BD} = (5, 5)$, середины диагоналей не совпадают ($M_{AC} \neq M_{BD}$).

Следовательно, четырехугольник $ABCD$ не является параллелограммом.

Ответ: $ABCD$ не является параллелограммом.

3. Найдите угол B треугольника ABC, если:

1) $A(2; 2\sqrt{3})$, $B(0; 0)$, $C(3; \sqrt{3})$;

2) $A(4; 1)$, $B(0; 0)$, $C(-1; 4)$.

1) A(2; 2√3 ), B(0; 0), C(3; √3 );

Дано

$A(2, 2\sqrt{3})$

$B(0, 0)$

$C(3, \sqrt{3})$

Найти:

Угол $B$

Решение

Для нахождения угла $B$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся формулой косинуса угла между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$: $\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$.

Найдем координаты векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{BA} = (x_A - x_B, y_A - y_B) = (2 - 0, 2\sqrt{3} - 0) = (2, 2\sqrt{3})$

$\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (3 - 0, \sqrt{3} - 0) = (3, \sqrt{3})$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (2)(3) + (2\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 6 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12$

Вычислим длины (модули) векторов $|\vec{BA}|$ и $|\vec{BC}|$:

$|\vec{BA}| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

$|\vec{BC}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Теперь найдем косинус угла $B$:

$\cos B = \frac{12}{4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Зная значение косинуса, найдем угол $B$:

$B = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$

2) A(4; 1), B(0; 0), C(-1; 4).

Дано

$A(4, 1)$

$B(0, 0)$

$C(-1, 4)$

Найти:

Угол $B$

Решение

Для нахождения угла $B$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся формулой косинуса угла между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$: $\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$.

Найдем координаты векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{BA} = (x_A - x_B, y_A - y_B) = (4 - 0, 1 - 0) = (4, 1)$

$\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (-1 - 0, 4 - 0) = (-1, 4)$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (4)(-1) + (1)(4) = -4 + 4 = 0$

Вычислим длины (модули) векторов $|\vec{BA}|$ и $|\vec{BC}|$:

$|\vec{BA}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

Теперь найдем косинус угла $B$:

$\cos B = \frac{0}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{0}{17} = 0$

Зная значение косинуса, найдем угол $B$:

$B = \arccos(0) = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$

4. Докажите, что $ABCD$ – трапеция, если:

1)

$A(-2; -3)$, $B(-3; 1)$, $C(-1; 4)$, $D(2; 3)$;

2)

$A(-2; 1)$, $B(0; 3)$, $C(2; 3)$, $D(-1; -3)$.

1)

Дано:

Координаты вершин четырехугольника:

$A(-2; -3)$

$B(-3; 1)$

$C(-1; 4)$

$D(2; 3)$

Найти:

Доказать, что $ABCD$ - трапеция.

Решение:

Трапеция - это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а другая - нет (или обе пары, что делает его параллелограммом, который является частным случаем трапеции). Для определения параллельности сторон найдем угловые коэффициенты прямых, содержащих эти стороны. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Формула углового коэффициента $m$ прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Найдем угловые коэффициенты прямых, содержащих противоположные стороны $AB$ и $DC$:

Угловой коэффициент прямой $AB$ ($m_{AB}$):

$m_{AB} = \frac{1 - (-3)}{-3 - (-2)} = \frac{1 + 3}{-3 + 2} = \frac{4}{-1} = -4$

Угловой коэффициент прямой $DC$ ($m_{DC}$):

$m_{DC} = \frac{4 - 3}{-1 - 2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$

Так как $m_{AB} \neq m_{DC}$ ($-4 \neq -\frac{1}{3}$), стороны $AB$ и $DC$ не параллельны.

Теперь найдем угловые коэффициенты прямых, содержащих другую пару противоположных сторон $AD$ и $BC$:

Угловой коэффициент прямой $AD$ ($m_{AD}$):

$m_{AD} = \frac{3 - (-3)}{2 - (-2)} = \frac{3 + 3}{2 + 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Угловой коэффициент прямой $BC$ ($m_{BC}$):

$m_{BC} = \frac{4 - 1}{-1 - (-3)} = \frac{3}{-1 + 3} = \frac{3}{2}$

Так как $m_{AD} = m_{BC}$ ($\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$), стороны $AD$ и $BC$ параллельны.

Поскольку одна пара противоположных сторон ($AD$ и $BC$) параллельна, а другая пара ($AB$ и $DC$) не параллельна, четырехугольник $ABCD$ является трапецией.

Ответ: $ABCD$ является трапецией.

2)

Дано:

Координаты вершин четырехугольника:

$A(-2; 1)$

$B(0; 3)$

$C(2; 3)$

$D(-1; -3)$

Найти:

Доказать, что $ABCD$ - трапеция.

Решение:

Трапеция - это четырехугольник, у которого хотя бы одна пара противоположных сторон параллельна. Найдем угловые коэффициенты прямых, содержащих противоположные стороны, используя формулу $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Найдем угловые коэффициенты прямых, содержащих противоположные стороны $AB$ и $DC$:

Угловой коэффициент прямой $AB$ ($m_{AB}$):

$m_{AB} = \frac{3 - 1}{0 - (-2)} = \frac{2}{2} = 1$

Угловой коэффициент прямой $DC$ ($m_{DC}$):

$m_{DC} = \frac{3 - (-3)}{2 - (-1)} = \frac{3 + 3}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2$

Так как $m_{AB} \neq m_{DC}$ ($1 \neq 2$), стороны $AB$ и $DC$ не параллельны.

Теперь найдем угловые коэффициенты прямых, содержащих другую пару противоположных сторон $AD$ и $BC$:

Угловой коэффициент прямой $AD$ ($m_{AD}$):

$m_{AD} = \frac{-3 - 1}{-1 - (-2)} = \frac{-4}{-1 + 2} = \frac{-4}{1} = -4$

Угловой коэффициент прямой $BC$ ($m_{BC}$):

$m_{BC} = \frac{3 - 3}{2 - 0} = \frac{0}{2} = 0$

Так как $m_{AD} \neq m_{BC}$ ($-4 \neq 0$), стороны $AD$ и $BC$ не параллельны.

Поскольку ни одна из пар противоположных сторон не является параллельной, четырехугольник $ABCD$ не является трапецией.

Ответ: $ABCD$ не является трапецией.

5. Используя данные рисунка, запишите уравнение касательной:

1) $O(2; 3)$, $M(4; 5)$, P

2) $O(-1; 2)$, $P(1; -3)$, K

1)

Дано:

центр окружности $O(2; 3)$

точка касания $M(4; 5)$

Найти:

уравнение касательной

Решение:

касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. найдем угловой коэффициент радиуса $OM$.

координаты точек $O(x_O, y_O) = (2, 3)$ и $M(x_M, y_M) = (4, 5)$.

угловой коэффициент радиуса $OM$ рассчитывается как:

$k_{OM} = \frac{y_M - y_O}{x_M - x_O}$

$k_{OM} = \frac{5 - 3}{4 - 2} = \frac{2}{2} = 1$

поскольку касательная перпендикулярна радиусу $OM$, ее угловой коэффициент $k_P$ равен обратному значению углового коэффициента радиуса $OM$ с противоположным знаком:

$k_P = -\frac{1}{k_{OM}}$

$k_P = -\frac{1}{1} = -1$

теперь используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку $M(4; 5)$ с угловым коэффициентом $k_P = -1$: $y - y_M = k_P(x - x_M)$

$y - 5 = -1(x - 4)$

$y - 5 = -x + 4$

$y = -x + 4 + 5$

$y = -x + 9$

или в общем виде:

$x + y - 9 = 0$

Ответ: $y = -x + 9$ (или $x + y - 9 = 0$)

2)

Дано:

центр окружности $O(-1; 2)$

точка касания $P(1; -3)$

Найти:

уравнение касательной

Решение:

касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. найдем угловой коэффициент радиуса $OP$.

координаты точек $O(x_O, y_O) = (-1, 2)$ и $P(x_P, y_P) = (1, -3)$.

угловой коэффициент радиуса $OP$ рассчитывается как:

$k_{OP} = \frac{y_P - y_O}{x_P - x_O}$

$k_{OP} = \frac{-3 - 2}{1 - (-1)} = \frac{-5}{1 + 1} = \frac{-5}{2}$

поскольку касательная $K$ перпендикулярна радиусу $OP$, ее угловой коэффициент $k_K$ равен обратному значению углового коэффициента радиуса $OP$ с противоположным знаком:

$k_K = -\frac{1}{k_{OP}}$

$k_K = -\frac{1}{-\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$

теперь используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку $P(1; -3)$ с угловым коэффициентом $k_K = \frac{2}{5}$: $y - y_P = k_K(x - x_P)$

$y - (-3) = \frac{2}{5}(x - 1)$

$y + 3 = \frac{2}{5}x - \frac{2}{5}$

умножим все члены уравнения на 5, чтобы избавиться от дробей:

$5(y + 3) = 2(x - 1)$

$5y + 15 = 2x - 2$

перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой:

$2x - 5y - 2 - 15 = 0$

$2x - 5y - 17 = 0$

Ответ: $2x - 5y - 17 = 0$