Номер 4, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Докажите, что $ABCD$ – трапеция, если:

1)

$A(-2; -3)$, $B(-3; 1)$, $C(-1; 4)$, $D(2; 3)$;

2)

$A(-2; 1)$, $B(0; 3)$, $C(2; 3)$, $D(-1; -3)$.

1)

Дано:

Координаты вершин четырехугольника:

$A(-2; -3)$

$B(-3; 1)$

$C(-1; 4)$

$D(2; 3)$

Найти:

Доказать, что $ABCD$ - трапеция.

Решение:

Трапеция - это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а другая - нет (или обе пары, что делает его параллелограммом, который является частным случаем трапеции). Для определения параллельности сторон найдем угловые коэффициенты прямых, содержащих эти стороны. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Формула углового коэффициента $m$ прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Найдем угловые коэффициенты прямых, содержащих противоположные стороны $AB$ и $DC$:

Угловой коэффициент прямой $AB$ ($m_{AB}$):

$m_{AB} = \frac{1 - (-3)}{-3 - (-2)} = \frac{1 + 3}{-3 + 2} = \frac{4}{-1} = -4$

Угловой коэффициент прямой $DC$ ($m_{DC}$):

$m_{DC} = \frac{4 - 3}{-1 - 2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$

Так как $m_{AB} \neq m_{DC}$ ($-4 \neq -\frac{1}{3}$), стороны $AB$ и $DC$ не параллельны.

Теперь найдем угловые коэффициенты прямых, содержащих другую пару противоположных сторон $AD$ и $BC$:

Угловой коэффициент прямой $AD$ ($m_{AD}$):

$m_{AD} = \frac{3 - (-3)}{2 - (-2)} = \frac{3 + 3}{2 + 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Угловой коэффициент прямой $BC$ ($m_{BC}$):

$m_{BC} = \frac{4 - 1}{-1 - (-3)} = \frac{3}{-1 + 3} = \frac{3}{2}$

Так как $m_{AD} = m_{BC}$ ($\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$), стороны $AD$ и $BC$ параллельны.

Поскольку одна пара противоположных сторон ($AD$ и $BC$) параллельна, а другая пара ($AB$ и $DC$) не параллельна, четырехугольник $ABCD$ является трапецией.

Ответ: $ABCD$ является трапецией.

2)

Дано:

Координаты вершин четырехугольника:

$A(-2; 1)$

$B(0; 3)$

$C(2; 3)$

$D(-1; -3)$

Найти:

Доказать, что $ABCD$ - трапеция.

Решение:

Трапеция - это четырехугольник, у которого хотя бы одна пара противоположных сторон параллельна. Найдем угловые коэффициенты прямых, содержащих противоположные стороны, используя формулу $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Найдем угловые коэффициенты прямых, содержащих противоположные стороны $AB$ и $DC$:

Угловой коэффициент прямой $AB$ ($m_{AB}$):

$m_{AB} = \frac{3 - 1}{0 - (-2)} = \frac{2}{2} = 1$

Угловой коэффициент прямой $DC$ ($m_{DC}$):

$m_{DC} = \frac{3 - (-3)}{2 - (-1)} = \frac{3 + 3}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2$

Так как $m_{AB} \neq m_{DC}$ ($1 \neq 2$), стороны $AB$ и $DC$ не параллельны.

Теперь найдем угловые коэффициенты прямых, содержащих другую пару противоположных сторон $AD$ и $BC$:

Угловой коэффициент прямой $AD$ ($m_{AD}$):

$m_{AD} = \frac{-3 - 1}{-1 - (-2)} = \frac{-4}{-1 + 2} = \frac{-4}{1} = -4$

Угловой коэффициент прямой $BC$ ($m_{BC}$):

$m_{BC} = \frac{3 - 3}{2 - 0} = \frac{0}{2} = 0$

Так как $m_{AD} \neq m_{BC}$ ($-4 \neq 0$), стороны $AD$ и $BC$ не параллельны.

Поскольку ни одна из пар противоположных сторон не является параллельной, четырехугольник $ABCD$ не является трапецией.

Ответ: $ABCD$ не является трапецией.