Номер 1, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Постройте $ \Delta A_1 B_1 C_1 $, симметричный $ \Delta ABC $ относительно точки $ O $, и определите координаты точек $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $. Сделайте вывод.

Дано:

Треугольник $\triangle ABC$ с вершинами, определенными по изображению:

• $A(-1; 2)$
• $B(2; 3)$
• $C(3; -2)$

Точка симметрии - начало координат $O(0; 0)$.

Найти:

• Координаты вершин треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, симметричного $\triangle ABC$ относительно точки $O$.
• Построить $\triangle A_1B_1C_1$.
• Сделать вывод.

Решение:

Точечная симметрия относительно начала координат $O(0;0)$ преобразует произвольную точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(-x; -y)$.

Определите координаты точек $A_1, B_1, C_1$

Применяем правило точечной симметрии к каждой вершине исходного треугольника $\triangle ABC$:

• Для точки $A(-1; 2)$ симметричная точка $A_1$ будет иметь координаты: $A_1(-(-1); -(2)) = A_1(1; -2)$.
• Для точки $B(2; 3)$ симметричная точка $B_1$ будет иметь координаты: $B_1(-(2); -(3)) = B_1(-2; -3)$.
• Для точки $C(3; -2)$ симметричная точка $C_1$ будет иметь координаты: $C_1(-(3); -(-2)) = C_1(-3; 2)$.

Ответ: Координаты точек: $A_1(1; -2)$, $B_1(-2; -3)$, $C_1(-3; 2)$.

Постройте $\triangle A_1B_1C_1$

Для построения треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ необходимо отметить найденные точки $A_1(1; -2)$, $B_1(-2; -3)$ и $C_1(-3; 2)$ на координатной плоскости. Затем соединить эти три точки отрезками $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $C_1A_1$. Полученный треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ будет симметричен исходному треугольнику $\triangle ABC$ относительно начала координат.

Ответ: Построение выполняется путем отметки точек $A_1(1; -2)$, $B_1(-2; -3)$, $C_1(-3; 2)$ на координатной плоскости и соединения их отрезками.

Сделайте вывод

При точечной симметрии относительно начала координат $O(0;0)$ координаты каждой точки $(x; y)$ изменяют свой знак на противоположный, становясь $(-x; -y)$. При этом преобразовании геометрическая фигура (в данном случае треугольник) переходит в равную ей фигуру, то есть сохраняются ее форма, размеры сторон и величины углов. Фактически, точечная симметрия относительно начала координат является частным случаем поворота фигуры на $180^\circ$ вокруг этой точки.

Ответ: Вывод сделан.