Номер 7, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Постройте $\Delta A_1 B_1 C_1$, симметричный $\Delta ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(2; -1)$, и определите координаты точек $A_1, B_1, C_1$. Сделайте вывод.

Дано:

Исходный треугольник $\triangle ABC$ на координатной плоскости.

Координаты вершин треугольника $ABC$ по изображению:

• $A(-4, 2)$

• $B(-1, 3)$

• $C(1, -2)$

Вектор параллельного переноса $\vec{a}(2; -1)$.

Найти:

Координаты вершин $A_1, B_1, C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, полученного параллельным переносом $\triangle ABC$ на вектор $\vec{a}$.

Описание построения треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.

Вывод о свойствах фигуры после параллельного переноса.

Решение:

Определение координат точек $A_1, B_1, C_1$ при параллельном переносе

При параллельном переносе точки $P(x, y)$ на вектор $\vec{a}(x_a, y_a)$, ее новые координаты $P'(x', y')$ определяются по формулам:

$x' = x + x_a$

$y' = y + y_a$

В данном случае, вектор переноса $\vec{a}(2; -1)$, что означает $x_a = 2$ и $y_a = -1$.

• Для точки $A(-4, 2)$:

  $x_{A_1} = -4 + 2 = -2$

  $y_{A_1} = 2 + (-1) = 1$

  Следовательно, $A_1(-2, 1)$.

• Для точки $B(-1, 3)$:

  $x_{B_1} = -1 + 2 = 1$

  $y_{B_1} = 3 + (-1) = 2$

  Следовательно, $B_1(1, 2)$.

• Для точки $C(1, -2)$:

  $x_{C_1} = 1 + 2 = 3$

  $y_{C_1} = -2 + (-1) = -3$

  Следовательно, $C_1(3, -3)$.

Ответ: Координаты точек: $A_1(-2, 1)$, $B_1(1, 2)$, $C_1(3, -3)$.

Построение $\Delta A_1B_1C_1$

Для построения треугольника $A_1B_1C_1$ на координатной плоскости необходимо отметить найденные координаты вершин $A_1, B_1, C_1$ и соединить их отрезками. Каждая точка исходного треугольника $ABC$ перемещается на 2 единицы вправо (положительное направление оси X) и на 1 единицу вниз (отрицательное направление оси Y) согласно вектору $\vec{a}(2; -1)$.

• Отметьте точку $A_1(-2, 1)$.

• Отметьте точку $B_1(1, 2)$.

• Отметьте точку $C_1(3, -3)$.

Соедините точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками, чтобы получить треугольник $\triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ построен с вершинами $A_1(-2, 1)$, $B_1(1, 2)$, $C_1(3, -3)$.

Вывод

Параллельный перенос является одним из видов изометрических преобразований. Это означает, что при параллельном переносе сохраняются расстояния между точками, углы, а следовательно, и форма, и размеры фигуры. Ориентация фигуры также остается неизменной. Таким образом, треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ является конгруэнтным (равным) исходному треугольнику $\triangle ABC$, что символически записывается как $\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle ABC$.

Ответ: Параллельный перенос является изометрическим преобразованием, сохраняющим форму, размеры и ориентацию фигуры; $\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle ABC$.