Номер 1, страница 224 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Гл. Теорема синусов

Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно.

1. Заполните таблицу:

1)

a: 5

$\beta$: $30^\circ$

$\gamma$: $45^\circ$

2)

b: 20

$\alpha$: $75^\circ$

$\beta$: $60^\circ$

3)

b: 26

c: 35

$\beta$: $40^\circ$

$\gamma$: $120^\circ$

4)

b: 12

$\alpha$: $36^\circ$

$\beta$: $25^\circ$

5)

c: 14

$\alpha$: $64^\circ$

$\gamma$: $48^\circ$

6)

a: 10

$\alpha$: $60^\circ$

$\gamma$: $45^\circ$

Чтобы заполнить таблицу, будем использовать теорему синусов и свойство суммы углов треугольника (180°). Обозначения углов и сторон приведены на рисунке к задаче.

1)

Дано:

сторона $a = 5$

угол $\beta = 30^\circ$

угол $\gamma = 45^\circ$

Найти:

угол $\alpha$, сторона $b$, сторона $c$

Решение:

1. Найдем угол $\alpha$ по свойству суммы углов треугольника:

$\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma$

$\alpha = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

2. Найдем сторону $b$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$

$b = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha}$

$b = \frac{5 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{5 \cdot 0.5}{\sin(60^\circ+45^\circ)} = \frac{2.5}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{10}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \approx 2.59$

3. Найдем сторону $c$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$

$c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}$

$c = \frac{5 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \approx 3.66$

Ответ: $\alpha = 105^\circ$, $b \approx 2.59$, $c \approx 3.66$

2)

Дано:

сторона $b = 20$

угол $\alpha = 75^\circ$

угол $\beta = 60^\circ$

Найти:

сторона $a$, сторона $c$, угол $\gamma$

Решение:

1. Найдем угол $\gamma$ по свойству суммы углов треугольника:

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$

$\gamma = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

2. Найдем сторону $a$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$

$a = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta}$

$a = \frac{20 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{10(\sqrt{18}+\sqrt{6})}{3} = \frac{10(3\sqrt{2}+\sqrt{6})}{3} \approx 22.31$

3. Найдем сторону $c$ по теореме синусов:

$\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta}$

$c = \frac{b \sin \gamma}{\sin \beta}$

$c = \frac{20 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{6}}{3} \approx 16.33$

Ответ: $a \approx 22.31$, $c \approx 16.33$, $\gamma = 45^\circ$

3)

Дано:

сторона $b = 26$

сторона $c = 35$

угол $\beta = 40^\circ$

угол $\gamma = 120^\circ$

Найти:

сторона $a$, угол $\alpha$

Решение:

1. Найдем угол $\alpha$ по свойству суммы углов треугольника:

$\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma$

$\alpha = 180^\circ - 40^\circ - 120^\circ = 20^\circ$

2. Найдем сторону $a$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$

$a = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta}$

$a = \frac{26 \cdot \sin 20^\circ}{\sin 40^\circ}$

Поскольку $\sin 40^\circ = 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ$, то $a = \frac{26 \cdot \sin 20^\circ}{2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ} = \frac{13}{\cos 20^\circ} \approx \frac{13}{0.9397} \approx 13.83$

Ответ: $a \approx 13.83$, $\alpha = 20^\circ$

4)

Дано:

сторона $b = 12$

угол $\alpha = 36^\circ$

угол $\beta = 25^\circ$

Найти:

сторона $a$, сторона $c$, угол $\gamma$

Решение:

1. Найдем угол $\gamma$ по свойству суммы углов треугольника:

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$

$\gamma = 180^\circ - 36^\circ - 25^\circ = 119^\circ$

2. Найдем сторону $a$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$

$a = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta}$

$a = \frac{12 \cdot \sin 36^\circ}{\sin 25^\circ} \approx \frac{12 \cdot 0.5878}{0.4226} \approx 16.69$

3. Найдем сторону $c$ по теореме синусов:

$\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta}$

$c = \frac{b \sin \gamma}{\sin \beta}$

$c = \frac{12 \cdot \sin 119^\circ}{\sin 25^\circ} \approx \frac{12 \cdot 0.8746}{0.4226} \approx 24.84$

Ответ: $a \approx 16.69$, $c \approx 24.84$, $\gamma = 119^\circ$

5)

Дано:

сторона $c = 14$

угол $\alpha = 64^\circ$

угол $\gamma = 48^\circ$

Найти:

сторона $a$, сторона $b$, угол $\beta$

Решение:

1. Найдем угол $\beta$ по свойству суммы углов треугольника:

$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$

$\beta = 180^\circ - 64^\circ - 48^\circ = 68^\circ$

2. Найдем сторону $a$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$

$a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma}$

$a = \frac{14 \cdot \sin 64^\circ}{\sin 48^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0.8988}{0.7431} \approx 16.93$

3. Найдем сторону $b$ по теореме синусов:

$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

$b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma}$

$b = \frac{14 \cdot \sin 68^\circ}{\sin 48^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0.9272}{0.7431} \approx 17.47$

Ответ: $a \approx 16.93$, $b \approx 17.47$, $\beta = 68^\circ$

6)

Дано:

сторона $a = 10$

угол $\alpha = 60^\circ$

угол $\gamma = 45^\circ$

Найти:

сторона $b$, сторона $c$, угол $\beta$

Решение:

1. Найдем угол $\beta$ по свойству суммы углов треугольника:

$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$

$\beta = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

2. Найдем сторону $b$ по теореме синусов:

$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha}$

$b = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha}$

$b = \frac{10 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{18}+\sqrt{6})}{3} = \frac{5(3\sqrt{2}+\sqrt{6})}{3} \approx 11.15$

3. Найдем сторону $c$ по теореме синусов:

$\frac{c}{\sin \gamma} = \frac{a}{\sin \alpha}$

$c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha}$

$c = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3} \approx 8.17$

Ответ: $b \approx 11.15$, $c \approx 8.17$, $\beta = 75^\circ$