Номер 2, страница 229 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Докажите, что треугольники подобны:

1)

$ \triangle ABE \sim \triangle DCE $

2)

$ \triangle BCD \sim \triangle BAC $

3)

$ \triangle NKM \sim \triangle PKE $

1)

Дано:

Окружность с хордами $AD$ и $BC$, пересекающимися в точке $E$.

Найти:

Доказать подобие треугольников $\triangle ABE$ и $\triangle DCE$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DCE$.

1. Углы $\angle AEB$ и $\angle DEC$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении двух прямых $AD$ и $BC$. Следовательно, они равны: $\angle AEB = \angle DEC$.

2. Углы $\angle EAB$ (или $\angle CAB$) и $\angle EDC$ (или $\angle CDB$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $BC$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle EAB = \angle EDC$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle ABE$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle DCE$), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Ответ: Треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DCE$ подобны.

2)

Дано:

Окружность, касательная $BD$ к окружности в точке $D$, секущая $BA$, пересекающая окружность в точках $C$ и $A$ (точка $C$ лежит между $B$ и $A$).

Найти:

Доказать подобие треугольников $\triangle BDC$ и $\triangle BDA$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle BDC$ и $\triangle BDA$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

2. Угол $\angle BDC$ является углом между касательной $BD$ и хордой $DC$. По теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду $DC$ в альтернативном сегменте. Таким вписанным углом является $\angle DAC$ (или $\angle DAB$). Следовательно, $\angle BDC = \angle DAC$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle BDC$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle BDA$), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Ответ: Треугольники $\triangle BDC$ и $\triangle BDA$ подобны.

3)

Дано:

Окружность с хордами $MP$ и $NE$, пересекающимися в точке $K$.

Найти:

Доказать подобие треугольников $\triangle MNK$ и $\triangle PEK$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle MNK$ и $\triangle PEK$.

1. Углы $\angle MKN$ и $\angle EKP$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении двух прямых $MP$ и $NE$. Следовательно, они равны: $\angle MKN = \angle EKP$.

2. Углы $\angle KNM$ (или $\angle MNP$) и $\angle KEP$ (или $\angle MEP$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $MP$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle KNM = \angle KEP$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle MNK$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle PEK$), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Ответ: Треугольники $\triangle MNK$ и $\triangle PEK$ подобны.