Номер 1, страница 226 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

VII. Теорема косинусов

1. Заполните таблицу:

$a$: 1) 12, 2) , 3) 15, 4) 7, 5) , 6) 10

$b$: 1) 8, 2) 17, 3) , 4) 14, 5) 6, 6)

$c$: 1) , 2) 9, 3) 35, 4) , 5) 15, 6) 12

$\alpha$: 1) , 2) $70^\circ$, 3) , 4) , 5) $80^\circ$, 6)

$\beta$: 1) , 2) , 3) $30^\circ$, 4) , 5) , 6) $45^\circ$

$\gamma$: 1) $60^\circ$, 2) , 3) , 4) $120^\circ$, 5) , 6)

$S$: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6)

1)

Дано:
Сторона $a = 12$
Сторона $b = 8$
Угол $\gamma = 60^\circ$

Перевод данных в систему СИ: Единицы измерения длин не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для тригонометрических вычислений.

Найти:
Сторона $c$
Угол $\alpha$
Угол $\beta$
Площадь $S$

Решение:

1. Находим сторону $c$, используя теорему косинусов:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$
$c^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$
$c^2 = 144 + 64 - 192 \cdot 0.5$
$c^2 = 208 - 96$
$c^2 = 112$
$c = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$

2. Находим угол $\alpha$, используя теорему косинусов:$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\cos \alpha = \frac{8^2 + (4\sqrt{7})^2 - 12^2}{2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{7}}$
$\cos \alpha = \frac{64 + 112 - 144}{64\sqrt{7}}$
$\cos \alpha = \frac{32}{64\sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14}$
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{7}}{14}\right) \approx 79.11^\circ$

3. Находим угол $\beta$, используя сумму углов треугольника:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$
$\beta = 180^\circ - \arccos\left(\frac{\sqrt{7}}{14}\right) - 60^\circ$
$\beta = 120^\circ - \arccos\left(\frac{\sqrt{7}}{14}\right) \approx 40.89^\circ$

4. Находим площадь $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$:$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ$
$S = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$S = 24\sqrt{3}$

Ответ:
$c = 4\sqrt{7} \approx 10.58$
$\alpha \approx 79.11^\circ$
$\beta \approx 40.89^\circ$
$S = 24\sqrt{3} \approx 41.57$

2)

Дано:
Сторона $b = 17$
Сторона $c = 9$
Угол $\alpha = 70^\circ$

Перевод данных в систему СИ: Единицы измерения длин не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для тригонометрических вычислений.

Найти:
Сторона $a$
Угол $\beta$
Угол $\gamma$
Площадь $S$

Решение:

1. Находим сторону $a$, используя теорему косинусов:$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
$a^2 = 17^2 + 9^2 - 2 \cdot 17 \cdot 9 \cdot \cos 70^\circ$
$a^2 = 289 + 81 - 306 \cos 70^\circ$
$a^2 = 370 - 306 \cos 70^\circ$
$a = \sqrt{370 - 306 \cos 70^\circ} \approx 16.29$

2. Находим угол $\beta$, используя теорему синусов:$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha}$
$\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}$
$\sin \beta = \frac{17 \sin 70^\circ}{\sqrt{370 - 306 \cos 70^\circ}}$
$\beta = \arcsin\left(\frac{17 \sin 70^\circ}{\sqrt{370 - 306 \cos 70^\circ}}\right) \approx 80.64^\circ$

3. Находим угол $\gamma$, используя сумму углов треугольника:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$
$\gamma = 180^\circ - 70^\circ - \arcsin\left(\frac{17 \sin 70^\circ}{\sqrt{370 - 306 \cos 70^\circ}}\right)$
$\gamma = 110^\circ - \arcsin\left(\frac{17 \sin 70^\circ}{\sqrt{370 - 306 \cos 70^\circ}}\right) \approx 29.36^\circ$

4. Находим площадь $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$:$S = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 9 \cdot \sin 70^\circ$
$S = 76.5 \sin 70^\circ \approx 71.88$

Ответ:
$a = \sqrt{370 - 306 \cos 70^\circ} \approx 16.29$
$\beta \approx 80.64^\circ$
$\gamma \approx 29.36^\circ$
$S = 76.5 \sin 70^\circ \approx 71.88$

3)

Дано:
Сторона $a = 15$
Сторона $c = 35$
Угол $\beta = 30^\circ$

Перевод данных в систему СИ: Единицы измерения длин не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для тригонометрических вычислений.

Найти:
Сторона $b$
Угол $\alpha$
Угол $\gamma$
Площадь $S$

Решение:

1. Находим сторону $b$, используя теорему косинусов:$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$
$b^2 = 15^2 + 35^2 - 2 \cdot 15 \cdot 35 \cdot \cos 30^\circ$
$b^2 = 225 + 1225 - 1050 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$b^2 = 1450 - 525\sqrt{3}$
$b = \sqrt{1450 - 525\sqrt{3}} \approx 23.25$

2. Находим угол $\alpha$, используя теорему синусов:$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
$\sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b}$
$\sin \alpha = \frac{15 \sin 30^\circ}{\sqrt{1450 - 525\sqrt{3}}} = \frac{15 \cdot 0.5}{\sqrt{1450 - 525\sqrt{3}}} = \frac{7.5}{\sqrt{1450 - 525\sqrt{3}}}$
$\alpha = \arcsin\left(\frac{7.5}{\sqrt{1450 - 525\sqrt{3}}}\right) \approx 18.82^\circ$

3. Находим угол $\gamma$, используя сумму углов треугольника:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$
$\gamma = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{7.5}{\sqrt{1450 - 525\sqrt{3}}}\right) - 30^\circ$
$\gamma = 150^\circ - \arcsin\left(\frac{7.5}{\sqrt{1450 - 525\sqrt{3}}}\right) \approx 131.18^\circ$

4. Находим площадь $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2}ac \sin \beta$:$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 35 \cdot \sin 30^\circ$
$S = \frac{1}{2} \cdot 525 \cdot 0.5$
$S = 131.25$

Ответ:
$b = \sqrt{1450 - 525\sqrt{3}} \approx 23.25$
$\alpha \approx 18.82^\circ$
$\gamma \approx 131.18^\circ$
$S = 131.25$

4)

Дано:
Сторона $a = 7$
Сторона $b = 14$
Угол $\gamma = 120^\circ$

Перевод данных в систему СИ: Единицы измерения длин не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для тригонометрических вычислений.

Найти:
Сторона $c$
Угол $\alpha$
Угол $\beta$
Площадь $S$

Решение:

1. Находим сторону $c$, используя теорему косинусов:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$
$c^2 = 7^2 + 14^2 - 2 \cdot 7 \cdot 14 \cdot \cos 120^\circ$
$c^2 = 49 + 196 - 196 \cdot (-0.5)$
$c^2 = 245 + 98$
$c^2 = 343$
$c = \sqrt{343} = \sqrt{49 \cdot 7} = 7\sqrt{7}$

2. Находим угол $\alpha$, используя теорему синусов:$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c}$
$\sin \alpha = \frac{7 \sin 120^\circ}{7\sqrt{7}} = \frac{\sin 120^\circ}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$
$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right) \approx 19.10^\circ$

3. Находим угол $\beta$, используя сумму углов треугольника:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$
$\beta = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right) - 120^\circ$
$\beta = 60^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right) \approx 40.90^\circ$

4. Находим площадь $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$:$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 14 \cdot \sin 120^\circ$
$S = 49 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$S = \frac{49\sqrt{3}}{2}$

Ответ:
$c = 7\sqrt{7} \approx 18.52$
$\alpha \approx 19.10^\circ$
$\beta \approx 40.90^\circ$
$S = \frac{49\sqrt{3}}{2} \approx 42.44$

5)

Дано:
Сторона $b = 6$
Сторона $c = 15$
Угол $\alpha = 80^\circ$

Перевод данных в систему СИ: Единицы измерения длин не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для тригонометрических вычислений.

Найти:
Сторона $a$
Угол $\beta$
Угол $\gamma$
Площадь $S$

Решение:

1. Находим сторону $a$, используя теорему косинусов:$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
$a^2 = 6^2 + 15^2 - 2 \cdot 6 \cdot 15 \cdot \cos 80^\circ$
$a^2 = 36 + 225 - 180 \cos 80^\circ$
$a^2 = 261 - 180 \cos 80^\circ$
$a = \sqrt{261 - 180 \cos 80^\circ} \approx 15.16$

2. Находим угол $\beta$, используя теорему синусов:$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha}$
$\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}$
$\sin \beta = \frac{6 \sin 80^\circ}{\sqrt{261 - 180 \cos 80^\circ}}$
$\beta = \arcsin\left(\frac{6 \sin 80^\circ}{\sqrt{261 - 180 \cos 80^\circ}}\right) \approx 22.95^\circ$

3. Находим угол $\gamma$, используя сумму углов треугольника:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$
$\gamma = 180^\circ - 80^\circ - \arcsin\left(\frac{6 \sin 80^\circ}{\sqrt{261 - 180 \cos 80^\circ}}\right)$
$\gamma = 100^\circ - \arcsin\left(\frac{6 \sin 80^\circ}{\sqrt{261 - 180 \cos 80^\circ}}\right) \approx 77.05^\circ$

4. Находим площадь $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 15 \cdot \sin 80^\circ$
$S = 45 \sin 80^\circ \approx 44.316$

Ответ:
$a = \sqrt{261 - 180 \cos 80^\circ} \approx 15.16$
$\beta \approx 22.95^\circ$
$\gamma \approx 77.05^\circ$
$S = 45 \sin 80^\circ \approx 44.32$

6)

Дано:
Сторона $a = 10$
Сторона $c = 12$
Угол $\beta = 45^\circ$

Перевод данных в систему СИ: Единицы измерения длин не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется. Углы даны в градусах, что является стандартной единицей для тригонометрических вычислений.

Найти:
Сторона $b$
Угол $\alpha$
Угол $\gamma$
Площадь $S$

Решение:

1. Находим сторону $b$, используя теорему косинусов:$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$
$b^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos 45^\circ$
$b^2 = 100 + 144 - 240 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$b^2 = 244 - 120\sqrt{2}$
$b = \sqrt{244 - 120\sqrt{2}} \approx 8.62$

2. Находим угол $\alpha$, используя теорему синусов:$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
$\sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b}$
$\sin \alpha = \frac{10 \sin 45^\circ}{\sqrt{244 - 120\sqrt{2}}} = \frac{10 \cdot \sqrt{2}/2}{\sqrt{244 - 120\sqrt{2}}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{244 - 120\sqrt{2}}}$
$\alpha = \arcsin\left(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{244 - 120\sqrt{2}}}\right) \approx 55.09^\circ$

3. Находим угол $\gamma$, используя сумму углов треугольника:$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$
$\gamma = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{244 - 120\sqrt{2}}}\right) - 45^\circ$
$\gamma = 135^\circ - \arcsin\left(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{244 - 120\sqrt{2}}}\right) \approx 79.91^\circ$

4. Находим площадь $S$, используя формулу $S = \frac{1}{2}ac \sin \beta$:$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin 45^\circ$
$S = 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$S = 30\sqrt{2}$

Ответ:
$b = \sqrt{244 - 120\sqrt{2}} \approx 8.62$
$\alpha \approx 55.09^\circ$
$\gamma \approx 79.91^\circ$
$S = 30\sqrt{2} \approx 42.43$