Номер 1, страница 222 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Найдите пары подобных треугольников и укажите соответственный признак подобия:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

$MN \parallel AC$

8)

9)

10)

1)

Решение: В первом треугольнике один острый угол равен $60^\circ$, а другой острый угол равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Таким образом, углы первого треугольника равны $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$. Во втором треугольнике один острый угол равен $30^\circ$, а другой острый угол равен $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Таким образом, углы второго треугольника также равны $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$. Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, треугольники подобны.

Ответ: $\Delta$первый $\sim$ $\Delta$второй по первому признаку подобия (по двум углам).

2)

Решение: В $\Delta MNK$ и $\Delta ABC$ по условию дано, что $\angle M = \angle A$ и $\angle N = \angle C$. Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, треугольники подобны.

Ответ: $\Delta MNK \sim \Delta ACB$ по первому признаку подобия (по двум углам).

3)

Решение: Рассмотрим $\Delta ABC$ и $\Delta ACK$. $\angle A$ является общим углом для обоих треугольников. По условию дано, что $\angle B = \angle KCA$. Поскольку два угла одного треугольника (общий $\angle A$ и $\angle B$) равны двум углам другого треугольника (общий $\angle A$ и $\angle KCA$), треугольники подобны.

Ответ: $\Delta ABC \sim \Delta ACK$ по первому признаку подобия (по двум углам).

4)

Решение: Рассмотрим $\Delta ABC$ и $\Delta ACP$. $\angle A$ является общим углом для обоих треугольников. По условию дано, что $\angle B = \angle PCA$. Поскольку два угла одного треугольника (общий $\angle A$ и $\angle B$) равны двум углам другого треугольника (общий $\angle A$ и $\angle PCA$), треугольники подобны.

Ответ: $\Delta ABC \sim \Delta ACP$ по первому признаку подобия (по двум углам).

5)

Решение: Рассмотрим $\Delta ABC$ и $\Delta DCA$. По условию дано, что $\angle B = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle CAD$. Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, треугольники подобны.

Ответ: $\Delta ABC \sim \Delta DCA$ по первому признаку подобия (по двум углам).

6)

Решение: Рассмотрим $\Delta ABO$ и $\Delta DCO$. По условию дано, что $\angle BAO = \angle CDO$ и $\angle ABO = \angle DCO$. Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, треугольники подобны (также углы $\angle AOB$ и $\angle DOC$ являются вертикальными и, следовательно, равными).

Ответ: $\Delta ABO \sim \Delta DCO$ по первому признаку подобия (по двум углам).

7)

Решение: Рассмотрим $\Delta BMN$ и $\Delta BAC$. По условию дано, что $MN \parallel AC$. $\angle B$ является общим углом для обоих треугольников. Так как $MN \parallel AC$, то соответственные углы равны: $\angle BMN = \angle BAC$ и $\angle BNM = \angle BCA$. Поскольку два угла одного треугольника (общий $\angle B$ и $\angle BMN$) равны двум углам другого треугольника (общий $\angle B$ и $\angle BAC$), треугольники подобны.

Ответ: $\Delta BMN \sim \Delta BAC$ по первому признаку подобия (по двум углам).

8)

Решение: Рассмотрим $\Delta AKE$ и $\Delta ADC$. $\angle A$ является общим углом для обоих треугольников. По условию дано, что $\angle AEK = \angle ADC$. Поскольку два угла одного треугольника (общий $\angle A$ и $\angle AEK$) равны двум углам другого треугольника (общий $\angle A$ и $\angle ADC$), треугольники подобны.

Ответ: $\Delta AKE \sim \Delta ADC$ по первому признаку подобия (по двум углам).

9)

Решение: Рассмотрим $\Delta ABC$ и $\Delta DCA$. Длины сторон: $AB=12, BC=8, AC=18$ для $\Delta ABC$, и $DC=12, CA=18, AD=27$ для $\Delta DCA$. Сравним отношения соответствующих сторон:$ \frac{BC}{CD} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$ \frac{AB}{AC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$ \frac{AC}{AD} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} $Так как все отношения соответствующих сторон равны, стороны треугольников пропорциональны.

Ответ: $\Delta ABC \sim \Delta DCA$ по третьему признаку подобия (по трем сторонам).

10)

Решение: Рассмотрим $\Delta ABD$ и $\Delta CDB$. Длины сторон: $AB=36, BD=18, AD=20$ для $\Delta ABD$, и $CD=9, BC=10, BD=18$ для $\Delta CDB$. Сравним отношения соответствующих сторон (от меньшей к большей):Для $\Delta ABD$: $BD=18, AD=20, AB=36$.Для $\Delta CDB$: $CD=9, BC=10, BD=18$.$ \frac{BD}{CD} = \frac{18}{9} = 2 $$ \frac{AD}{BC} = \frac{20}{10} = 2 $$ \frac{AB}{BD} = \frac{36}{18} = 2 $Так как все отношения соответствующих сторон равны, стороны треугольников пропорциональны.

Ответ: $\Delta ABD \sim \Delta CDB$ по третьему признаку подобия (по трем сторонам).