Номер 5, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Используя данные рисунка, запишите уравнение касательной:

1) $O(2; 3)$, $M(4; 5)$, P

2) $O(-1; 2)$, $P(1; -3)$, K

1)

Дано:

центр окружности $O(2; 3)$

точка касания $M(4; 5)$

Найти:

уравнение касательной

Решение:

касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. найдем угловой коэффициент радиуса $OM$.

координаты точек $O(x_O, y_O) = (2, 3)$ и $M(x_M, y_M) = (4, 5)$.

угловой коэффициент радиуса $OM$ рассчитывается как:

$k_{OM} = \frac{y_M - y_O}{x_M - x_O}$

$k_{OM} = \frac{5 - 3}{4 - 2} = \frac{2}{2} = 1$

поскольку касательная перпендикулярна радиусу $OM$, ее угловой коэффициент $k_P$ равен обратному значению углового коэффициента радиуса $OM$ с противоположным знаком:

$k_P = -\frac{1}{k_{OM}}$

$k_P = -\frac{1}{1} = -1$

теперь используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку $M(4; 5)$ с угловым коэффициентом $k_P = -1$: $y - y_M = k_P(x - x_M)$

$y - 5 = -1(x - 4)$

$y - 5 = -x + 4$

$y = -x + 4 + 5$

$y = -x + 9$

или в общем виде:

$x + y - 9 = 0$

Ответ: $y = -x + 9$ (или $x + y - 9 = 0$)

2)

Дано:

центр окружности $O(-1; 2)$

точка касания $P(1; -3)$

Найти:

уравнение касательной

Решение:

касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. найдем угловой коэффициент радиуса $OP$.

координаты точек $O(x_O, y_O) = (-1, 2)$ и $P(x_P, y_P) = (1, -3)$.

угловой коэффициент радиуса $OP$ рассчитывается как:

$k_{OP} = \frac{y_P - y_O}{x_P - x_O}$

$k_{OP} = \frac{-3 - 2}{1 - (-1)} = \frac{-5}{1 + 1} = \frac{-5}{2}$

поскольку касательная $K$ перпендикулярна радиусу $OP$, ее угловой коэффициент $k_K$ равен обратному значению углового коэффициента радиуса $OP$ с противоположным знаком:

$k_K = -\frac{1}{k_{OP}}$

$k_K = -\frac{1}{-\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$

теперь используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку $P(1; -3)$ с угловым коэффициентом $k_K = \frac{2}{5}$: $y - y_P = k_K(x - x_P)$

$y - (-3) = \frac{2}{5}(x - 1)$

$y + 3 = \frac{2}{5}x - \frac{2}{5}$

умножим все члены уравнения на 5, чтобы избавиться от дробей:

$5(y + 3) = 2(x - 1)$

$5y + 15 = 2x - 2$

перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой:

$2x - 5y - 2 - 15 = 0$

$2x - 5y - 17 = 0$

Ответ: $2x - 5y - 17 = 0$