Номер 6, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 3, \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ, |\vec{a} - \vec{b}| - ?$

Дано:

$|\vec{a}| = 2$

$|\vec{b}| = 3$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$

Перевод в систему СИ: Данные величины являются безразмерными или уже представлены в подходящих единицах для вычислений, поэтому перевод не требуется.

Найти:

$|\vec{a} - \vec{b}| - ?$

Решение:

Для нахождения модуля разности двух векторов воспользуемся формулой, основанной на скалярном произведении векторов:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скалярное произведение:

$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Известно, что $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим эти соотношения в формулу:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) + |\vec{b}|^2$

Теперь подставим заданные значения: $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.

Значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2)^2 - 2(2)(3)\cos(60^\circ) + (3)^2$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4 - 2(2)(3)\left(\frac{1}{2}\right) + 9$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4 - 6 + 9$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 7$

Чтобы найти $|\vec{a} - \vec{b}|$, возьмем квадратный корень из полученного значения:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$

Ответ:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$