Номер 2, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм, если:

1) $A(2; -1)$, $B(5; -3)$, $C(-2; 11)$, $D(-5; 13);$

2) $A(1; 1)$, $B(3; 5)$, $C(9; -1)$, $D(7; 5).$

1) A(2; -1), B(5; -3), C(-2; 11), D(-5; 13);

Дано:

$A(2; -1)$, $B(5; -3)$, $C(-2; 11)$, $D(-5; 13)$

Найти:

Доказать, что $ABCD$ - параллелограмм.

Решение:

Для того, чтобы четырехугольник $ABCD$ был параллелограммом, его диагонали должны пересекаться в одной точке (их середины должны совпадать). Найдем координаты середины диагонали $AC$, $M_{AC}$, по формуле середины отрезка $M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$:

$M_{AC} = \left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{-1+11}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right) = (0, 5)$

Теперь найдем координаты середины диагонали $BD$, $M_{BD}$:

$M_{BD} = \left(\frac{5+(-5)}{2}, \frac{-3+13}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{10}{2}\right) = (0, 5)$

Сравним координаты середин диагоналей.

Поскольку $M_{AC} = M_{BD} = (0, 5)$, середины диагоналей совпадают.

Следовательно, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: $ABCD$ - параллелограмм.

2) A(1; 1), B(3; 5), C(9; -1), D(7; 5).

Дано:

$A(1; 1)$, $B(3; 5)$, $C(9; -1)$, $D(7; 5)$

Найти:

Доказать, что $ABCD$ - параллелограмм.

Решение:

Для того, чтобы четырехугольник $ABCD$ был параллелограммом, его диагонали должны пересекаться в одной точке (их середины должны совпадать). Найдем координаты середины диагонали $AC$, $M_{AC}$, по формуле середины отрезка $M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$:

$M_{AC} = \left(\frac{1+9}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{0}{2}\right) = (5, 0)$

Теперь найдем координаты середины диагонали $BD$, $M_{BD}$:

$M_{BD} = \left(\frac{3+7}{2}, \frac{5+5}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{10}{2}\right) = (5, 5)$

Сравним координаты середин диагоналей.

Поскольку $M_{AC} = (5, 0)$ и $M_{BD} = (5, 5)$, середины диагоналей не совпадают ($M_{AC} \neq M_{BD}$).

Следовательно, четырехугольник $ABCD$ не является параллелограммом.

Ответ: $ABCD$ не является параллелограммом.