Номер 2, страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Заполните таблицу:

1)

$\vec{a}$: $(-2; 3)$

$\vec{b}$: $(2; 3)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

2)

$\vec{a}$: $(1; -2)$

$\vec{b}$: $(\_; 3)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: $2$

3)

$\vec{a}$: $(\frac{1}{3}, \frac{2}{5})$

$\vec{b}$: $(\frac{3}{4}, \frac{5}{8})$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

4)

$\vec{a}$: $(-\sqrt{2}; \_)$

$\vec{b}$: $(2\sqrt{2}; 3)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: $-4$

5)

$\vec{a}$: $(2\sqrt{5}; -1)$

$\vec{b}$: $(3; -\sqrt{5})$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$:

6)

$\vec{a}$: $(\frac{2}{7}; 3\frac{2}{5})$

$\vec{b}$: $(-14; \_)$

$\vec{a} \cdot \vec{b}$: $-3$

1)

Дано:
$\vec{a} = (-2; 3)$
$\vec{b} = (2; 3)$

Перевод в СИ:
Не требуется.

Найти:
$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:
Для вычисления скалярного произведения двух векторов $\vec{a} = (a_x; a_y)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y)$ используется формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.
Подставляем значения из условия:
$a_x = -2$, $a_y = 3$
$b_x = 2$, $b_y = 3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 2 + 3 \cdot 3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -4 + 9$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$.

Ответ: 5

2)

Дано:
$\vec{a} = (1; -2)$
$\vec{b} = (x; 3)$ (где $x$ - неизвестная координата)
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

Перевод в СИ:
Не требуется.

Найти:
$x$ (первая координата вектора $\vec{b}$)

Решение:
Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.
Подставляем известные значения:
$a_x = 1$, $a_y = -2$
$b_x = x$, $b_y = 3$
Скалярное произведение равно 2.
$1 \cdot x + (-2) \cdot 3 = 2$
$x - 6 = 2$
Для нахождения $x$ перенесем -6 в правую часть уравнения:
$x = 2 + 6$
$x = 8$.

Ответ: 8

3)

Дано:
$\vec{a} = \left(\frac{1}{3}; \frac{2}{5}\right)$
$\vec{b} = \left(\frac{3}{4}; \frac{5}{8}\right)$

Перевод в СИ:
Не требуется.

Найти:
$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:
Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.
Подставляем значения координат:
$a_x = \frac{1}{3}$, $a_y = \frac{2}{5}$
$b_x = \frac{3}{4}$, $b_y = \frac{5}{8}$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{2}{5}\right) \cdot \left(\frac{5}{8}\right)$
Выполним умножение дробей:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
$\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 8} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$
Теперь сложим полученные значения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

4)

Дано:
$\vec{a} = (-\sqrt{2}; y)$ (где $y$ - неизвестная координата)
$\vec{b} = (2\sqrt{2}; 3)$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$

Перевод в СИ:
Не требуется.

Найти:
$y$ (вторая координата вектора $\vec{a}$)

Решение:
Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.
Подставляем известные значения:
$a_x = -\sqrt{2}$, $a_y = y$
$b_x = 2\sqrt{2}$, $b_y = 3$
Скалярное произведение равно -4.
$(-\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) + y \cdot 3 = -4$
$-2 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) + 3y = -4$
$-2 \cdot 2 + 3y = -4$
$-4 + 3y = -4$
Для нахождения $y$ перенесем -4 в правую часть уравнения:
$3y = -4 + 4$
$3y = 0$
$y = 0$.

Ответ: 0

5)

Дано:
$\vec{a} = (2\sqrt{5}; -1)$
$\vec{b} = (3; -\sqrt{5})$

Перевод в СИ:
Не требуется.

Найти:
$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:
Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.
Подставляем значения координат:
$a_x = 2\sqrt{5}$, $a_y = -1$
$b_x = 3$, $b_y = -\sqrt{5}$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\sqrt{5}) \cdot 3 + (-1) \cdot (-\sqrt{5})$
Выполним умножение:
$(2\sqrt{5}) \cdot 3 = 6\sqrt{5}$
$(-1) \cdot (-\sqrt{5}) = \sqrt{5}$
Теперь сложим полученные значения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6\sqrt{5} + \sqrt{5} = 7\sqrt{5}$.

Ответ: $7\sqrt{5}$

6)

Дано:
$\vec{a} = \left(\frac{2}{7}; 3\frac{2}{5}\right)$
$\vec{b} = (-14; y)$ (где $y$ - неизвестная координата)
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

Перевод в СИ:
Не требуется.

Найти:
$y$ (вторая координата вектора $\vec{b}$)

Решение:
Сначала преобразуем смешанную дробь $3\frac{2}{5}$ в неправильную:
$3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5}$.
Таким образом, $\vec{a} = \left(\frac{2}{7}; \frac{17}{5}\right)$.
Используем формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.
Подставляем известные значения:
$a_x = \frac{2}{7}$, $a_y = \frac{17}{5}$
$b_x = -14$, $b_y = y$
Скалярное произведение равно -3.
$\left(\frac{2}{7}\right) \cdot (-14) + \left(\frac{17}{5}\right) \cdot y = -3$
Выполним умножение:
$\frac{2}{7} \cdot (-14) = \frac{2 \cdot (-14)}{7} = \frac{-28}{7} = -4$
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
$-4 + \frac{17}{5}y = -3$
Перенесем -4 в правую часть уравнения:
$\frac{17}{5}y = -3 + 4$
$\frac{17}{5}y = 1$
Для нахождения $y$ умножим обе стороны уравнения на обратную дробь $\frac{5}{17}$:
$y = 1 \cdot \frac{5}{17}$
$y = \frac{5}{17}$.

Ответ: $\frac{5}{17}$