Номер 3, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Найдите угол B треугольника ABC, если:

1) $A(2; 2\sqrt{3})$, $B(0; 0)$, $C(3; \sqrt{3})$;

2) $A(4; 1)$, $B(0; 0)$, $C(-1; 4)$.

1) A(2; 2√3 ), B(0; 0), C(3; √3 );

Дано

$A(2, 2\sqrt{3})$

$B(0, 0)$

$C(3, \sqrt{3})$

Найти:

Угол $B$

Решение

Для нахождения угла $B$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся формулой косинуса угла между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$: $\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$.

Найдем координаты векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{BA} = (x_A - x_B, y_A - y_B) = (2 - 0, 2\sqrt{3} - 0) = (2, 2\sqrt{3})$

$\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (3 - 0, \sqrt{3} - 0) = (3, \sqrt{3})$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (2)(3) + (2\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 6 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12$

Вычислим длины (модули) векторов $|\vec{BA}|$ и $|\vec{BC}|$:

$|\vec{BA}| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

$|\vec{BC}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Теперь найдем косинус угла $B$:

$\cos B = \frac{12}{4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Зная значение косинуса, найдем угол $B$:

$B = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$

2) A(4; 1), B(0; 0), C(-1; 4).

Дано

$A(4, 1)$

$B(0, 0)$

$C(-1, 4)$

Найти:

Угол $B$

Решение

Для нахождения угла $B$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся формулой косинуса угла между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$: $\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$.

Найдем координаты векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{BA} = (x_A - x_B, y_A - y_B) = (4 - 0, 1 - 0) = (4, 1)$

$\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (-1 - 0, 4 - 0) = (-1, 4)$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (4)(-1) + (1)(4) = -4 + 4 = 0$

Вычислим длины (модули) векторов $|\vec{BA}|$ и $|\vec{BC}|$:

$|\vec{BA}| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

Теперь найдем косинус угла $B$:

$\cos B = \frac{0}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{0}{17} = 0$

Зная значение косинуса, найдем угол $B$:

$B = \arccos(0) = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$