Страница 225 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Заполните таблицу:

$a$: 1) 12, 3) 20, 4) 6, 5) 18, 6) 21

$b$: 1) 5, 2) 27, 4) 8, 5) 12

$c$: 2) 9, 3) 24, 6) 25

$\alpha$: 1) $120^\circ$, 5) $72^\circ$

$\beta$: 2) $60^\circ$, 4) $30^\circ$

$\gamma$: 3) $140^\circ$, 6) $100^\circ$

$R$

1)

Дано:
Сторона $a = 12$
Сторона $b = 5$
Угол $\alpha = 120^\circ$

Найти:
Сторона $c$
Угол $\beta$
Угол $\gamma$
Радиус описанной окружности $R$

Решение:
Используем закон синусов для нахождения угла $\beta$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
$\frac{12}{\sin 120^\circ} = \frac{5}{\sin \beta}$
$\sin \beta = \frac{5 \sin 120^\circ}{12} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{12} = \frac{5\sqrt{3}}{24}$
$\beta = \arcsin\left(\frac{5\sqrt{3}}{24}\right) \approx \arcsin(0.3608) \approx 21.16^\circ$
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 120^\circ - 21.16^\circ = 38.84^\circ$
Используем закон синусов для нахождения стороны $c$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{12}{\sin 120^\circ} = \frac{c}{\sin 38.84^\circ}$
$c = \frac{12 \sin 38.84^\circ}{\sin 120^\circ} \approx \frac{12 \cdot 0.627}{0.866} \approx 8.69$
Используем закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:
$2R = \frac{a}{\sin \alpha}$
$R = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{12}{2 \sin 120^\circ} = \frac{12}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6.93$

Ответ: $c \approx 8.69$, $\beta \approx 21.16^\circ$, $\gamma \approx 38.84^\circ$, $R \approx 6.93$

2)

Дано:
Сторона $b = 27$
Сторона $c = 9$
Угол $\beta = 60^\circ$

Найти:
Сторона $a$
Угол $\alpha$
Угол $\gamma$
Радиус описанной окружности $R$

Решение:
Используем закон синусов для нахождения угла $\gamma$:
$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{27}{\sin 60^\circ} = \frac{9}{\sin \gamma}$
$\sin \gamma = \frac{9 \sin 60^\circ}{27} = \frac{\sin 60^\circ}{3} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
$\gamma = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) \approx \arcsin(0.2887) \approx 16.78^\circ$
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 60^\circ - 16.78^\circ = 103.22^\circ$
Используем закон синусов для нахождения стороны $a$:
$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha}$
$\frac{27}{\sin 60^\circ} = \frac{a}{\sin 103.22^\circ}$
$a = \frac{27 \sin 103.22^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{27 \cdot 0.973}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx 30.34$
Используем закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:
$2R = \frac{b}{\sin \beta}$
$R = \frac{b}{2 \sin \beta} = \frac{27}{2 \sin 60^\circ} = \frac{27}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{27}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{3} \approx 15.59$

Ответ: $a \approx 30.34$, $\alpha \approx 103.22^\circ$, $\gamma \approx 16.78^\circ$, $R \approx 15.59$

3)

Дано:
Сторона $a = 20$
Сторона $c = 24$
Угол $\gamma = 140^\circ$

Найти:
Сторона $b$
Угол $\alpha$
Угол $\beta$
Радиус описанной окружности $R$

Решение:
Используем закон синусов для нахождения угла $\alpha$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{20}{\sin \alpha} = \frac{24}{\sin 140^\circ}$
$\sin \alpha = \frac{20 \sin 140^\circ}{24} = \frac{5 \sin 40^\circ}{6}$
$\sin \alpha \approx \frac{5 \cdot 0.6428}{6} \approx 0.5357$
$\alpha = \arcsin(0.5357) \approx 32.39^\circ$
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 32.39^\circ - 140^\circ = 7.61^\circ$
Используем закон косинусов для нахождения стороны $b$:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$
$b^2 = 20^2 + 24^2 - 2 \cdot 20 \cdot 24 \cdot \cos 7.61^\circ$
$b^2 = 400 + 576 - 960 \cos 7.61^\circ$
$b^2 = 976 - 960 \cdot 0.9913 \approx 976 - 951.648 = 24.352$
$b = \sqrt{24.352} \approx 4.94$
Используем закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:
$2R = \frac{c}{\sin \gamma}$
$R = \frac{c}{2 \sin \gamma} = \frac{24}{2 \sin 140^\circ} = \frac{12}{\sin 40^\circ} \approx \frac{12}{0.6428} \approx 18.67$

Ответ: $b \approx 4.94$, $\alpha \approx 32.39^\circ$, $\beta \approx 7.61^\circ$, $R \approx 18.67$

4)

Дано:
Сторона $a = 6$
Сторона $b = 8$
Угол $\beta = 30^\circ$

Найти:
Сторона $c$
Угол $\alpha$
Угол $\gamma$
Радиус описанной окружности $R$

Решение:
Используем закон синусов для нахождения угла $\alpha$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
$\frac{6}{\sin \alpha} = \frac{8}{\sin 30^\circ}$
$\sin \alpha = \frac{6 \sin 30^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 0.5}{8} = \frac{3}{8} = 0.375$
$\alpha = \arcsin(0.375) \approx 22.02^\circ$
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 22.02^\circ - 30^\circ = 127.98^\circ$
Используем закон синусов для нахождения стороны $c$:
$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 127.98^\circ}$
$c = \frac{8 \sin 127.98^\circ}{\sin 30^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.7883}{0.5} \approx 12.61$
Используем закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:
$2R = \frac{b}{\sin \beta}$
$R = \frac{b}{2 \sin \beta} = \frac{8}{2 \sin 30^\circ} = \frac{8}{2 \cdot 0.5} = \frac{8}{1} = 8$

Ответ: $c \approx 12.61$, $\alpha \approx 22.02^\circ$, $\gamma \approx 127.98^\circ$, $R = 8$

5)

Дано:
Сторона $a = 18$
Сторона $b = 12$
Угол $\alpha = 72^\circ$

Найти:
Сторона $c$
Угол $\beta$
Угол $\gamma$
Радиус описанной окружности $R$

Решение:
Используем закон синусов для нахождения угла $\beta$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
$\frac{18}{\sin 72^\circ} = \frac{12}{\sin \beta}$
$\sin \beta = \frac{12 \sin 72^\circ}{18} = \frac{2 \sin 72^\circ}{3}$
$\sin \beta \approx \frac{2 \cdot 0.9511}{3} \approx 0.6341$
$\beta = \arcsin(0.6341) \approx 39.37^\circ$
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 72^\circ - 39.37^\circ = 68.63^\circ$
Используем закон синусов для нахождения стороны $c$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{18}{\sin 72^\circ} = \frac{c}{\sin 68.63^\circ}$
$c = \frac{18 \sin 68.63^\circ}{\sin 72^\circ} \approx \frac{18 \cdot 0.9314}{0.9511} \approx 17.63$
Используем закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:
$2R = \frac{a}{\sin \alpha}$
$R = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{18}{2 \sin 72^\circ} = \frac{9}{\sin 72^\circ} \approx \frac{9}{0.9511} \approx 9.46$

Ответ: $c \approx 17.63$, $\beta \approx 39.37^\circ$, $\gamma \approx 68.63^\circ$, $R \approx 9.46$

6)

Дано:
Сторона $a = 21$
Сторона $c = 25$
Угол $\gamma = 100^\circ$

Найти:
Сторона $b$
Угол $\alpha$
Угол $\beta$
Радиус описанной окружности $R$

Решение:
Используем закон синусов для нахождения угла $\alpha$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{21}{\sin \alpha} = \frac{25}{\sin 100^\circ}$
$\sin \alpha = \frac{21 \sin 100^\circ}{25}$
$\sin \alpha \approx \frac{21 \cdot 0.9848}{25} \approx 0.8272$
$\alpha = \arcsin(0.8272) \approx 55.80^\circ$
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 55.80^\circ - 100^\circ = 24.20^\circ$
Используем закон косинусов для нахождения стороны $b$:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$
$b^2 = 21^2 + 25^2 - 2 \cdot 21 \cdot 25 \cdot \cos 24.20^\circ$
$b^2 = 441 + 625 - 1050 \cos 24.20^\circ$
$b^2 = 1066 - 1050 \cdot 0.912 \approx 1066 - 957.6 = 108.4$
$b = \sqrt{108.4} \approx 10.41$
Используем закон синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:
$2R = \frac{c}{\sin \gamma}$
$R = \frac{c}{2 \sin \gamma} = \frac{25}{2 \sin 100^\circ} = \frac{12.5}{\sin 100^\circ} \approx \frac{12.5}{0.9848} \approx 12.69$

Ответ: $b \approx 10.41$, $\alpha \approx 55.80^\circ$, $\beta \approx 24.20^\circ$, $R \approx 12.69$

3. Найдите неизвестные элементы:

1)

$P - ?$

2)

$P - ?$

3)

$P - ?$

4)

$P - ?$

5)

$ABCD - ромб; AC - ?$

$BD - ? S - ?$

6)

$AC - ?$

1)

Дано:

треугольник со стороной $c = 10$

углы $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 60^\circ$

Найти:

$P$

Решение:

Найдем третий угол треугольника: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$.

По теореме синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Подставим известные значения: $\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 75^\circ}$.

Найдем сторону $a$ (напротив угла $45^\circ$):

$a = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ}$

Известно, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

$a = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{20\sqrt{12}-20 \cdot 2}{6-2} = \frac{20 \cdot 2\sqrt{3}-40}{4} = 10\sqrt{3}-10$.

Найдем сторону $b$ (напротив угла $60^\circ$):

$b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ}$

Известно, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$b = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{20\sqrt{18}-20\sqrt{6}}{4} = \frac{20 \cdot 3\sqrt{2}-20\sqrt{6}}{4} = 15\sqrt{2}-5\sqrt{6}$.

Периметр $P = a + b + c = (10\sqrt{3}-10) + (15\sqrt{2}-5\sqrt{6}) + 10 = 10\sqrt{3}+15\sqrt{2}-5\sqrt{6}$.

Ответ: $P = 10\sqrt{3}+15\sqrt{2}-5\sqrt{6}$

2)

Дано:

треугольник со стороной $c = 7$

внутренний угол $\alpha = 80^\circ$

внешний угол $\theta = 120^\circ$

Найти:

$P$

Решение:

Внутренний угол, смежный с внешним углом $120^\circ$, равен $\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Найдем третий угол треугольника: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 40^\circ$.

Согласно изображению, сторона $c=7$ лежит напротив угла $\gamma=40^\circ$.

По теореме синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Подставим известные значения: $\frac{a}{\sin 80^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{7}{\sin 40^\circ}$.

Найдем сторону $a$ (напротив угла $80^\circ$):

$a = \frac{7 \cdot \sin 80^\circ}{\sin 40^\circ}$

Используем формулу двойного угла: $\sin 80^\circ = 2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ$.

$a = \frac{7 \cdot (2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ)}{\sin 40^\circ} = 14 \cos 40^\circ$.

Найдем сторону $b$ (напротив угла $60^\circ$):

$b = \frac{7 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}$.

Периметр $P = a + b + c = 14 \cos 40^\circ + \frac{7 \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} + 7$.

Ответ: $P = 7 + 14 \cos 40^\circ + \frac{7 \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ}$

3)

Дано:

параллелограмм со стороной $AB = 8$

диагональ $AC$ делит угол $A$ на $\angle BAC = 30^\circ$ и $\angle CAD = 40^\circ$

Найти:

$P$

Решение:

В параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны. $AD \parallel BC$.

Угол $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 30^\circ + 40^\circ = 70^\circ$.

Так как $AD \parallel BC$, то углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими, поэтому $\angle BCA = \angle CAD = 40^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. У нас есть сторона $AB = 8$, угол $\angle BAC = 30^\circ$ и угол $\angle BCA = 40^\circ$.

Найдем угол $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 30^\circ - 40^\circ = 110^\circ$.

По теореме синусов в $\triangle ABC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle BCA)}$

$\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{\sin 40^\circ}$

$BC = \frac{8 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\sin 40^\circ} = \frac{4}{\sin 40^\circ}$.

Периметр параллелограмма $P = 2(AB + BC)$.

$P = 2 \left( 8 + \frac{4}{\sin 40^\circ} \right) = 16 + \frac{8}{\sin 40^\circ}$.

Ответ: $P = 16 + \frac{8}{\sin 40^\circ}$

4)

Дано:

параллелограмм со сторонами $a = 8$ и $b = 16$ (длины соседних сторон)

Найти:

$P$

Решение:

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его соседних сторон.

$P = 2(a+b)$

$P = 2(8 + 16) = 2(24) = 48$.

(Углы $30^\circ$ и $65^\circ$ на рисунке, относящиеся к диагонали, совместимы с существованием такого параллелограмма, но не требуются для вычисления периметра при известных сторонах.)

Ответ: $P = 48$

5)

Дано:

ромб $ABCD$ со стороной $AB = 8$

угол $\angle D = 60^\circ$

Найти:

$AC$, $BD$, $S$

Решение:

В ромбе все стороны равны, поэтому $AB = BC = CD = DA = 8$.

Противолежащие углы ромба равны, поэтому $\angle B = \angle D = 60^\circ$.

Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, поэтому $\angle A = \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Найдем диагональ $AC$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. У него $AB = BC = 8$ и угол $\angle B = 60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом между ними $60^\circ$ является равносторонним.

Следовательно, $AC = AB = BC = 8$.

Найдем диагональ $BD$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. У него $AB = AD = 8$ и угол $\angle A = 120^\circ$.

По теореме косинусов для $BD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ$

Так как $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$:

$BD^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 128 + 64 = 192$.

$BD = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$.

Найдем площадь ромба $S$. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$.

Ответ: $AC = 8$, $BD = 8\sqrt{3}$, $S = 32\sqrt{3}$

6)

Дано:

четырехугольник $ABCD$ (предположительно, параллелограмм)

сторона $BC = 2$

угол $\angle CAD = 30^\circ$ (угол $A$ на рисунке относится к части угла, образованной диагональю)

угол $\angle ABC = 105^\circ$ (угол $B$ на рисунке)

Найти:

$AC$

Решение:

Предположим, что $ABCD$ является параллелограммом. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

По свойству параллельных прямых и секущей, накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. У нас известны сторона $BC = 2$, угол $\angle ABC = 105^\circ$ и угол $\angle BCA = 30^\circ$.

Найдем третий угол $\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCA = 180^\circ - 105^\circ - 30^\circ = 45^\circ$.

По теореме синусов в $\triangle ABC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$

$AC = \frac{BC \cdot \sin(\angle ABC)}{\sin(\angle BAC)}$

$AC = \frac{2 \cdot \sin 105^\circ}{\sin 45^\circ}$.

Известно, что $\sin 105^\circ = \sin(60^\circ+45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Известно, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$AC = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}+1$.

Ответ: $AC = \sqrt{3}+1$