Страница 223 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. В треугольнике ABC MN || AC. Найдите x и y:

1)

$AB = 16; x-? $

2)

$AB = 30; x-? $

3)

$AB = x-? $

4)

$AB = 12; x-? $

5)

$x-? $

6)

$CB = 28; x-? $

7)

$x-? y-? $

8)

$x-? y-? $

1)

Дано: В треугольнике $ABC$, $MN \parallel AC$.
$BM = x$, $MN = 3$, $AC = 12$, $AB = 16$.

Найти: $x$.

Решение:

Так как $MN \parallel AC$, то треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ (по двум углам: $\angle B$ общий, $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).
Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $ \frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} $ Подставляем известные значения: $ \frac{x}{16} = \frac{3}{12} $ Сокращаем дробь справа: $ \frac{x}{16} = \frac{1}{4} $ Умножаем обе части на 16: $ x = \frac{16}{4} $ $ x = 4 $

Ответ: $x=4$

2)

Дано: В треугольнике $ABC$, $MN \parallel AC$.
$AM = x$, $MN = 5$, $AC = 15$, $AB = 30$.

Найти: $x$.

Решение:

Так как $MN \parallel AC$, то треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$.
Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $ \frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} $ Выразим $BM$ через $AB$ и $AM$: $ BM = AB - AM = 30 - x $ Подставляем известные значения в соотношение: $ \frac{30 - x}{30} = \frac{5}{15} $ Сокращаем дробь справа: $ \frac{30 - x}{30} = \frac{1}{3} $ Умножаем обе части на 30: $ 30 - x = \frac{30}{3} $ $ 30 - x = 10 $ Переносим $x$ вправо, 10 влево: $ x = 30 - 10 $ $ x = 20 $

Ответ: $x=20$

3)

Дано: В треугольнике $ABC$, $MN \parallel AC$.
$BN = 5$, $MN = 4$, $AC = 12$.
Найти $AB$, обозначенный как $x$.

Найти: $x$.

Решение:

Так как $MN \parallel AC$, то треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$.
Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $ \frac{BN}{BA} = \frac{MN}{AC} $ (В данном случае $N$ лежит на $AB$, а $M$ на $BC$).
Подставляем известные значения: $ \frac{5}{x} = \frac{4}{12} $ Сокращаем дробь справа: $ \frac{5}{x} = \frac{1}{3} $ Перекрестное умножение: $ 1 \cdot x = 5 \cdot 3 $ $ x = 15 $

Ответ: $x=15$

4)

Дано: В треугольнике $ABC$, $MN \parallel AC$.
$AC = 15$, $AM = x$, $MB = 4$, $AB = 12$.

Найти: $x$.

Решение:

В данном случае переменная $x$ обозначена как длина отрезка $AM$.
По условию, точка $M$ лежит на отрезке $AB$.
Таким образом, длина отрезка $AB$ является суммой длин отрезков $AM$ и $MB$: $ AB = AM + MB $ Подставляем известные значения: $ 12 = x + 4 $ Вычитаем 4 из обеих частей уравнения: $ x = 12 - 4 $ $ x = 8 $ (Информация о параллельности $MN \parallel AC$, а также длины $AC=15$ и $MN$ (которая не указана) являются избыточными для нахождения $x$ в этой конкретной формулировке задачи, где $x$ это $AM$.)

Ответ: $x=8$

5)

Дано: В треугольнике $ABC$, $MN \parallel AC$.
$BM = 9$, $MC = 3$, $AC = 16$.
Найти $MN$, обозначенный как $x$.

Найти: $x$.

Решение:

Так как $MN \parallel AC$, то треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$.
(Здесь $M$ лежит на $BC$, $N$ на $AB$).
Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $ \frac{BM}{BC} = \frac{MN}{AC} $ Для начала найдем длину отрезка $BC$: $ BC = BM + MC = 9 + 3 = 12 $ Теперь подставим известные значения в соотношение: $ \frac{9}{12} = \frac{x}{16} $ Сокращаем дробь слева: $ \frac{3}{4} = \frac{x}{16} $ Умножаем обе части на 16: $ x = \frac{3 \cdot 16}{4} $ $ x = 3 \cdot 4 $ $ x = 12 $

Ответ: $x=12$

6)

Дано: В треугольнике $ABC$, $MN \parallel AC$.
$CM = x$, $AC = 20$, $MN = 15$, $CB = 28$.

Найти: $x$.

Решение:

Так как $MN \parallel AC$, то треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$.
(Здесь $M$ лежит на $BC$, $N$ на $AB$).
Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $ \frac{BM}{BC} = \frac{MN}{AC} $ Подставим известные значения $MN$ и $AC$ для нахождения коэффициента подобия: $ \frac{MN}{AC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} $ Пусть $BM$ будет $y$. Тогда $CB = BM + CM \implies 28 = y + x$. Также $BM = CB - CM = 28 - x$.
Используем соотношение сторон для $BM$ и $BC$: $ \frac{BM}{BC} = \frac{3}{4} $ $ \frac{28 - x}{28} = \frac{3}{4} $ Умножаем обе части на 28: $ 28 - x = \frac{3 \cdot 28}{4} $ $ 28 - x = 3 \cdot 7 $ $ 28 - x = 21 $ Переносим $x$ вправо, 21 влево: $ x = 28 - 21 $ $ x = 7 $

Ответ: $x=7$

7)

Дано: В треугольнике $ABC$, $MN \parallel AC$.
$AM = 3$, $BN = 3$, $NC = 2$, $AC = 10$.
Найти $MN$, обозначенный как $x$, и $BM$, обозначенный как $y$.

Найти: $x$, $y$.

Решение:

Так как $MN \parallel AC$, то треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$.
Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $ \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} $ Для начала найдем длины отрезков $BC$ и $BA$ через $y$: $ BC = BN + NC = 3 + 2 = 5 $ $ BA = BM + AM = y + 3 $ Используем соотношение $ \frac{BN}{BC} $ для нахождения коэффициента подобия: $ \frac{BN}{BC} = \frac{3}{5} $ Теперь найдем $x$ (длину $MN$) из соотношения $ \frac{MN}{AC} $: $ \frac{x}{AC} = \frac{3}{5} $ $ \frac{x}{10} = \frac{3}{5} $ Умножаем обе части на 10: $ x = \frac{3 \cdot 10}{5} $ $ x = 3 \cdot 2 $ $ x = 6 $ Теперь найдем $y$ (длину $BM$) из соотношения $ \frac{BM}{BA} $: $ \frac{y}{BA} = \frac{3}{5} $ $ \frac{y}{y+3} = \frac{3}{5} $ Применяем перекрестное умножение: $ 5y = 3(y+3) $ $ 5y = 3y + 9 $ Вычитаем $3y$ из обеих частей: $ 2y = 9 $ $ y = \frac{9}{2} $ $ y = 4.5 $

Ответ: $x=6$, $y=4.5$

8)

Дано: В треугольнике $ABC$, $MN \parallel AC$.
$AM = 3$, $MN = 6$, $NC = 4$, $AC = 8$.
Найти $BM$, обозначенный как $x$, и $BN$, обозначенный как $y$.

Найти: $x$, $y$.

Решение:

Так как $MN \parallel AC$, то треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$.
Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $ \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} $ Для начала найдем длины отрезков $BA$ и $BC$ через $x$ и $y$: $ BA = BM + AM = x + 3 $ $ BC = BN + NC = y + 4 $ Используем соотношение $ \frac{MN}{AC} $ для нахождения коэффициента подобия: $ \frac{MN}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $ Теперь найдем $x$ (длину $BM$) из соотношения $ \frac{BM}{BA} $: $ \frac{x}{BA} = \frac{3}{4} $ $ \frac{x}{x+3} = \frac{3}{4} $ Применяем перекрестное умножение: $ 4x = 3(x+3) $ $ 4x = 3x + 9 $ Вычитаем $3x$ из обеих частей: $ x = 9 $ Теперь найдем $y$ (длину $BN$) из соотношения $ \frac{BN}{BC} $: $ \frac{y}{BC} = \frac{3}{4} $ $ \frac{y}{y+4} = \frac{3}{4} $ Применяем перекрестное умножение: $ 4y = 3(y+4) $ $ 4y = 3y + 12 $ Вычитаем $3y$ из обеих частей: $ y = 12 $

Ответ: $x=9$, $y=12$