Страница 227 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Найдите углы.

1)

$\angle ABC - ?$

2)

$\angle ABC - ?$

3)

$\angle A - ? \angle C - ?$

4)

$\angle D - ? \angle R - ?$

5)

$\angle ACD - ? \angle AOD - ?$

6)

$\angle ACB - ?$

7)

$\angle HNR - ?$

8)

$FK \parallel GM; \angle M - ? \angle FKM - ?$

9)

$\angle ADC - ?$

10)

$\angle BCA - ? \angle AOD - ? \angle DOE - ?$

11)

$\angle CBE - ?$

12)

$\angle BAD - ?$

13)

$\angle MDE - ?$

14)

$\angle FNE - ?$

1)

Дано:
Центральный угол $\angle AOC = 94^\circ$.

Найти:
Вписанный угол $\angle ABC$.

Решение:

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол, равен половине центрального угла.

Угол $\angle ABC$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AC$. Центральный угол $\angle AOC$ опирается на ту же дугу $AC$.

Следовательно, $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$.

$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 94^\circ = 47^\circ$.

Ответ: $\angle ABC = 47^\circ$

2)

Дано:
Вписанный угол $\angle ADB = 80^\circ$.

Найти:
Вписанный угол $\angle ACB$.

Решение:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$. Угол $\angle ADB$ также опирается на дугу $AB$.

Следовательно, $\angle ACB = \angle ADB = 80^\circ$.

Ответ: $\angle ACB = 80^\circ$

3)

Дано:
Центральный угол $\angle COB = 70^\circ$. Точки $A, O, B$ лежат на одной прямой (образуют диаметр $AB$).

Найти:
$\angle A$, $\angle C$. (Предполагается, что это $\angle OAC$ и $\angle OCB$).

Решение:

Рассмотрим треугольник $COB$. Так как $OC$ и $OB$ - радиусы окружности, то $OC = OB$. Следовательно, треугольник $COB$ является равнобедренным.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle OCB = \angle OBC$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому $\angle OCB = \frac{180^\circ - \angle COB}{2} = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$.

Таким образом, $\angle C = \angle OCB = 55^\circ$.

Углы $\angle COB$ и $\angle AOC$ являются смежными углами на прямой $AB$.

Следовательно, $\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOC$. Так как $OA$ и $OC$ - радиусы окружности, то $OA = OC$. Следовательно, треугольник $AOC$ является равнобедренным.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle OAC = \angle OCA$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому $\angle OAC = \frac{180^\circ - \angle AOC}{2} = \frac{180^\circ - 110^\circ}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$.

Таким образом, $\angle A = \angle OAC = 35^\circ$.

Ответ: $\angle A = 35^\circ$, $\angle C = 55^\circ$

4)

Дано:
Центральный угол $\angle ROG = 20^\circ$. $O$ - центр окружности.

Найти:
$\angle D$, $\angle R$. (Предполагается, что это $\angle RDG$ и $\angle ORG$).

Решение:

Угол $\angle RDG$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $RG$. Центральный угол $\angle ROG$ опирается на ту же дугу $RG$.

Следовательно, вписанный угол равен половине центрального: $\angle RDG = \frac{1}{2} \angle ROG = \frac{1}{2} \cdot 20^\circ = 10^\circ$.

Таким образом, $\angle D = 10^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ROG$. Так как $OR$ и $OG$ - радиусы окружности, то $OR = OG$. Следовательно, треугольник $ROG$ является равнобедренным.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle ORG = \angle OGR$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому $\angle ORG = \frac{180^\circ - \angle ROG}{2} = \frac{180^\circ - 20^\circ}{2} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ$.

Таким образом, $\angle R = 80^\circ$.

Ответ: $\angle D = 10^\circ$, $\angle R = 80^\circ$

5)

Дано:
Вписанный угол $\angle ABD = 60^\circ$. $O$ - центр окружности.

Найти:
$\angle ACD$, $\angle AOD$.

Решение:

Угол $\angle ABD$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AD$.

Мера дуги, на которую опирается вписанный угол, равна удвоенной мере этого угла.

Следовательно, мера дуги $AD = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Угол $\angle AOD$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AD$.

Мера центрального угла равна мере дуги, на которую он опирается. Поэтому, $\angle AOD = \text{arc } AD = 120^\circ$.

Угол $\angle ACD$ является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу $AD$.

Следовательно, $\angle ACD = \frac{1}{2} \cdot \text{arc } AD = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $\angle ACD = 60^\circ$, $\angle AOD = 120^\circ$

6)

Дано:
Центральный угол $\angle AOB = 150^\circ$. $O$ - центр окружности.

Найти:
$\angle ACB$.

Решение:

Центральный угол $\angle AOB = 150^\circ$ опирается на малую дугу $AB$. Следовательно, мера малой дуги $AB = 150^\circ$.

Полная окружность составляет $360^\circ$. Мера большой дуги $AB = 360^\circ - \text{малая дуга } AB = 360^\circ - 150^\circ = 210^\circ$.

Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на большую дугу $AB$ (поскольку вершина $C$ находится на окружности с другой стороны от хорды $AB$ относительно центра $O$).

Вписанный угол равен половине меры дуги, на которую он опирается.

Следовательно, $\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{большая дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 210^\circ = 105^\circ$.

Ответ: $\angle ACB = 105^\circ$

7)

Дано:
Вписанный угол $\angle RFH = 40^\circ$. Вписанный угол $\angle NHR = 30^\circ$. Точки $H, R, N, F$ лежат на окружности.

Найти:
$\angle HNR$.

Решение:

Угол $\angle RFH = 40^\circ$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $RH$.

Следовательно, мера дуги $RH = 2 \cdot \angle RFH = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.

Угол $\angle HNR$ является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу $RH$.

Следовательно, $\angle HNR = \frac{1}{2} \cdot \text{arc } RH = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ$.

(Информация об угле $\angle NHR = 30^\circ$ не требуется для нахождения $\angle HNR$, но она означает, что дуга $NF = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$).

Ответ: $\angle HNR = 40^\circ$

8)

Дано:
Вписанный угол $\angle FKG = 20^\circ$. Хорды $FK \parallel GM$. Точки $F, K, G, M$ лежат на окружности.

Найти:
$\angle M$, $\angle FKM$.

Решение:

Угол $\angle FKG = 20^\circ$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $FG$.

Следовательно, мера дуги $FG = 2 \cdot \angle FKG = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.

Если две параллельные хорды расположены в окружности, то дуги, заключенные между ними, равны.

Поскольку $FK \parallel GM$, то $\text{arc } KM = \text{arc } FG = 40^\circ$.

Угол $\angle GMF$ (угол при вершине $M$) является вписанным углом, опирающимся на дугу $GF$.

Следовательно, $\angle GMF = \frac{1}{2} \cdot \text{arc } GF = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ$.

Таким образом, $\angle M = 20^\circ$.

Угол $\angle FKM$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $FM$.

Мера дуги $FM = \text{arc } FK + \text{arc } KM$. Или $\text{arc } FM = \text{arc } FG + \text{arc } GM$.

Однако, мера дуги $FK$ или дуги $GM$ не дана и не может быть определена из предоставленной информации.

Таким образом, угол $\angle FKM$ не может быть найден без дополнительной информации.

Ответ: $\angle M = 20^\circ$, $\angle FKM$ не может быть найден без дополнительной информации.

9)

Дано:
Вписанный угол $\angle CBD = 40^\circ$. Хорды $BC = CD$. Точки $A, B, C, D$ лежат на окружности.

Найти:
$\angle CAD$.

Решение:

Угол $\angle CBD = 40^\circ$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $CD$.

Следовательно, мера дуги $CD = 2 \cdot \angle CBD = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.

Угол $\angle CAD$ является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу $CD$.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следовательно, $\angle CAD = \angle CBD = 40^\circ$.

(Информация о равенстве хорд $BC=CD$ и $AB=AD$ согласуется с результатом, так как равные хорды стягивают равные дуги, и в данном случае $\text{arc } BC = \text{arc } CD = 80^\circ$. Однако, для нахождения $\angle CAD$ достаточно только равенства дуг $CD$ и угла $\angle CBD$).

Ответ: $\angle CAD = 40^\circ$

10)

Дано:
Вписанный угол $\angle BDC = 60^\circ$. Вписанный угол $\angle AEC = 20^\circ$. Точки $A, B, C, D, E$ лежат на окружности. $O$ - центр.

Найти:
$\angle CBA$, $\angle ACD$.

Решение:

Угол $\angle AEC = 20^\circ$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AC$.

Угол $\angle CBA$ (или $\angle ABC$) также является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу $AC$.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следовательно, $\angle CBA = \angle AEC = 20^\circ$.

Угол $\angle ACD$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AD$.

Для нахождения меры дуги $AD$ или любого угла, опирающегося на нее, необходимо знать дополнительную информацию о других дугах или углах.

Известно, что $\angle BDC = 60^\circ$ опирается на дугу $BC$, поэтому $\text{arc } BC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Также $\text{arc } AC = 2 \cdot \angle AEC = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.

Однако, меры дуги $AB$ и дуги $CD$ (или других дуг) неизвестны, что не позволяет найти меру дуги $AD$.

Таким образом, угол $\angle ACD$ не может быть найден без дополнительной информации.

Ответ: $\angle CBA = 20^\circ$, $\angle ACD$ не может быть найден без дополнительной информации.

11)

Дано:
Линия $AD$ является касательной к окружности в точке $A$. Угол $\angle A = 40^\circ$. (Предполагается, что это угол между касательной $AD$ и хордой $AC$, т.е. $\angle CAD = 40^\circ$). Точки $B, C$ лежат на окружности.

Найти:
$\angle CBE$.

Решение:

Угол между касательной $AD$ и хордой $AC$ (угол $\angle CAD$) равен углу, вписанному в окружность и опирающемуся на ту же дугу $AC$ (т.е. $\angle ABC$).

Предполагаем, что $\angle CAD = 40^\circ$.

Следовательно, $\angle ABC = \angle CAD = 40^\circ$.

Предполагается, что точка $E$ лежит на продолжении прямой $AB$ за точку $B$, так что углы $\angle ABC$ и $\angle CBE$ являются смежными.

Смежные углы в сумме дают $180^\circ$.

Таким образом, $\angle CBE = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Ответ: $\angle CBE = 140^\circ$

12)

Дано:
Вписанный угол $\angle BDE = 30^\circ$. Вписанный угол $\angle ACB = 80^\circ$. Линия $AD$ является касательной к окружности в точке $A$. Точки $A, B, C, D, E$ лежат на окружности.

Найти:
$\angle BAD$.

Решение:

Угол $\angle BAD$ является углом между касательной $AD$ и хордой $AB$, проведенной из точки касания $A$.

Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен углу, вписанному в окружность и опирающемуся на ту же дугу.

Угол $\angle BAD$ опирается на дугу $AB$. Вписанный угол $\angle ACB$ также опирается на дугу $AB$.

Следовательно, $\angle BAD = \angle ACB$.

Из условия дано, что $\angle ACB = 80^\circ$.

Таким образом, $\angle BAD = 80^\circ$.

(Информация об угле $\angle BDE = 30^\circ$ не требуется для нахождения $\angle BAD$, но она означает, что дуга $BE = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$).

Ответ: $\angle BAD = 80^\circ$

13)

Дано:
Точка $D$ находится вне окружности. Из точки $D$ проведены две секущие $DM$ и $DE$. Угол $\angle ERM = 70^\circ$. Угол $\angle DEM = 20^\circ$. Точки $M, R, E$ лежат на окружности.

Найти:
$\angle MDE$.

Решение:

Угол $\angle ERM = 70^\circ$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $EM$.

Следовательно, мера дуги $EM = 2 \cdot \angle ERM = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$.

Угол $\angle DEM = 20^\circ$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $RM$.

Следовательно, мера дуги $RM = 2 \cdot \angle DEM = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.

Угол $\angle MDE$ является углом, образованным двумя секущими $DM$ и $DE$, проведенными из внешней точки $D$.

Мера угла, образованного двумя секущими, проведенными из одной внешней точки, равна половине разности мер большей и меньшей дуг, заключенных между сторонами угла.

В данном случае, эти дуги - $EM$ и $RM$.

$\angle MDE = \frac{1}{2} (\text{arc } EM - \text{arc } RM)$.

$\angle MDE = \frac{1}{2} (140^\circ - 40^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ$.

Ответ: $\angle MDE = 50^\circ$

14)

Дано:
Точка $N$ находится вне окружности. Из точки $N$ проведены две секущие $NF$ и $NE$. Угол $\angle EKF = 75^\circ$. Точки $E, K, F$ лежат на окружности.

Найти:
$\angle FNE$.

Решение:

Угол $\angle EKF = 75^\circ$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $EF$.

Следовательно, мера дуги $EF = 2 \cdot \angle EKF = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ$.

Угол $\angle FNE$ является углом, образованным двумя секущими $NF$ и $NE$, проведенными из внешней точки $N$.

Мера угла, образованного двумя секущими, проведенными из одной внешней точки, равна половине разности мер большей и меньшей дуг, заключенных между сторонами угла.

В данном случае, большая дуга - $EF = 150^\circ$. Однако, мера меньшей дуги, которую отсекают эти секущие (например, дуга, заключенная между точками пересечения секущих с окружностью, ближайшими к $N$), не дана и не может быть определена из предоставленной информации.

Таким образом, угол $\angle FNE$ не может быть найден без дополнительной информации.

Ответ: $\angle FNE$ не может быть найден без дополнительной информации.