Страница 232 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Заполните таблицу:

правильный треугольник

$a_n$: 5, $d_1$: -, $d_2$: -

R: $2\sqrt{3}$, $d_1$: -, $d_2$: -

r: 4, $d_1$: -, $d_2$: -

S: $4\sqrt{3}$, $d_1$: -, $d_2$: -

квадрат

R: $2\sqrt{2}$, $d_2$: -

$d_1$: $3\sqrt{2}$, $d_2$: -

$a_n$: 7, $d_2$: -

r: 3, $d_2$: -

S: 25, $d_2$: -

правильный шестиугольник

R: 5

r: $2\sqrt{3}$

$d_1$: 12

S: $\frac{27\sqrt{3}}{2}$

$a_n$: 4

$d_2$: $2\sqrt{3}$

Ниже представлены расчеты для заполнения таблицы.

Правильный треугольник

правильный треугольник, $a_n = 5$

Дано: правильный треугольник, $a = 5$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $R, r, S$.

Решение:

Для правильного треугольника ($n=3$):

Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$R = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r = \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$

Площадь: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $R = \frac{5\sqrt{3}}{3}$, $r = \frac{5\sqrt{3}}{6}$, $S = \frac{25\sqrt{3}}{4}$

правильный треугольник, $R = 2\sqrt{3}$

Дано: правильный треугольник, $R = 2\sqrt{3}$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $a_n, r, S$.

Решение:

Для правильного треугольника:

Сторона: $a = R\sqrt{3}$.

$a = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{R}{2}$.

$r = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Площадь: $S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.

$S = \frac{3(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \cdot (4 \cdot 3) \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \cdot 12 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$

Ответ: $a_n = 6$, $r = \sqrt{3}$, $S = 9\sqrt{3}$

правильный треугольник, $S = 4\sqrt{3}$

Дано: правильный треугольник, $S = 4\sqrt{3}$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $a_n, R, r$.

Решение:

Для правильного треугольника:

Площадь: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$4\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \implies 16 = a^2 \implies a = 4$

Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$R = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $a_n = 4$, $R = \frac{4\sqrt{3}}{3}$, $r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

правильный треугольник, $r = 4$

Дано: правильный треугольник, $r = 4$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $a_n, R, S$.

Решение:

Для правильного треугольника:

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$4 = \frac{a}{2\sqrt{3}} \implies a = 8\sqrt{3}$

Радиус описанной окружности: $R = 2r$.

$R = 2 \cdot 4 = 8$

Площадь: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S = \frac{(8\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{192\sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3}$

Ответ: $a_n = 8\sqrt{3}$, $R = 8$, $S = 48\sqrt{3}$

Квадрат

квадрат, $R = 2\sqrt{2}$

Дано: квадрат, $R = 2\sqrt{2}$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $a_n, r, d_1, S$.

Решение:

Для квадрата ($n=4$):

Сторона: $a = R\sqrt{2}$.

$a = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2}$.

$r = \frac{4}{2} = 2$

Диагональ: $d_1 = a\sqrt{2}$.

$d_1 = 4\sqrt{2}$

Также $d_1 = 2R = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Площадь: $S = a^2$.

$S = 4^2 = 16$

Ответ: $a_n = 4$, $r = 2$, $d_1 = 4\sqrt{2}$, $S = 16$

квадрат, $d_1 = 3\sqrt{2}$

Дано: квадрат, $d_1 = 3\sqrt{2}$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $a_n, R, r, S$.

Решение:

Для квадрата:

Диагональ: $d_1 = a\sqrt{2}$.

$3\sqrt{2} = a\sqrt{2} \implies a = 3$

Радиус описанной окружности: $R = \frac{d_1}{2}$.

$R = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2}$.

$r = \frac{3}{2}$

Площадь: $S = a^2$.

$S = 3^2 = 9$

Ответ: $a_n = 3$, $R = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, $r = \frac{3}{2}$, $S = 9$

квадрат, $a_n = 7$

Дано: квадрат, $a_n = 7$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $R, r, d_1, S$.

Решение:

Для квадрата:

Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

$R = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2}$.

$r = \frac{7}{2}$

Диагональ: $d_1 = a\sqrt{2}$.

$d_1 = 7\sqrt{2}$

Площадь: $S = a^2$.

$S = 7^2 = 49$

Ответ: $R = \frac{7\sqrt{2}}{2}$, $r = \frac{7}{2}$, $d_1 = 7\sqrt{2}$, $S = 49$

квадрат, $r = 3$

Дано: квадрат, $r = 3$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $a_n, R, d_1, S$.

Решение:

Для квадрата:

Сторона: $a = 2r$.

$a = 2 \cdot 3 = 6$

Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

$R = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

Диагональ: $d_1 = a\sqrt{2}$.

$d_1 = 6\sqrt{2}$

Площадь: $S = a^2$.

$S = 6^2 = 36$

Ответ: $a_n = 6$, $R = 3\sqrt{2}$, $d_1 = 6\sqrt{2}$, $S = 36$

квадрат, $S = 25$

Дано: квадрат, $S = 25$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $a_n, R, r, d_1$.

Решение:

Для квадрата:

Площадь: $S = a^2$.

$25 = a^2 \implies a = 5$

Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

$R = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2}$.

$r = \frac{5}{2}$

Диагональ: $d_1 = a\sqrt{2}$.

$d_1 = 5\sqrt{2}$

Ответ: $a_n = 5$, $R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$, $r = \frac{5}{2}$, $d_1 = 5\sqrt{2}$

Правильный шестиугольник

правильный шестиугольник, $R = 5$

Дано: правильный шестиугольник, $R = 5$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $a_n, r, d_1, d_2, S$.

Решение:

Для правильного шестиугольника ($n=6$):

Сторона: $a = R$.

$a = 5$

Радиус вписанной окружности: $r = R\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$r = 5\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

Короткая диагональ: $d_1 = a\sqrt{3}$.

$d_1 = 5\sqrt{3}$

Длинная диагональ: $d_2 = 2a$.

$d_2 = 2 \cdot 5 = 10$

Площадь: $S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$.

$S = \frac{3 \cdot 5^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 25 \sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $a_n = 5$, $r = \frac{5\sqrt{3}}{2}$, $d_1 = 5\sqrt{3}$, $d_2 = 10$, $S = \frac{75\sqrt{3}}{2}$

правильный шестиугольник, $r = 2\sqrt{3}$

Дано: правильный шестиугольник, $r = 2\sqrt{3}$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $a_n, R, d_1, d_2, S$.

Решение:

Для правильного шестиугольника:

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$2\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \implies 4 = a \implies a = 4$

Радиус описанной окружности: $R = a$.

$R = 4$

Короткая диагональ: $d_1 = a\sqrt{3}$.

$d_1 = 4\sqrt{3}$

Длинная диагональ: $d_2 = 2a$.

$d_2 = 2 \cdot 4 = 8$

Площадь: $S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

$S = \frac{3 \cdot 4^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 16 \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 8 \sqrt{3} = 24\sqrt{3}$

Ответ: $a_n = 4$, $R = 4$, $d_1 = 4\sqrt{3}$, $d_2 = 8$, $S = 24\sqrt{3}$

правильный шестиугольник, $S = \frac{27\sqrt{3}}{2}$

Дано: правильный шестиугольник, $S = \frac{27\sqrt{3}}{2}$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $a_n, R, r, d_1, d_2$.

Решение:

Для правильного шестиугольника:

Площадь: $S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

$\frac{27\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \implies 27 = 3a^2 \implies a^2 = 9 \implies a = 3$

Радиус описанной окружности: $R = a$.

$R = 3$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Короткая диагональ: $d_1 = a\sqrt{3}$.

$d_1 = 3\sqrt{3}$

Длинная диагональ: $d_2 = 2a$.

$d_2 = 2 \cdot 3 = 6$

Ответ: $a_n = 3$, $R = 3$, $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$, $d_1 = 3\sqrt{3}$, $d_2 = 6$

правильный шестиугольник, $d_1 = 12$

Дано: правильный шестиугольник, $d_1 = 12$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $a_n, R, r, d_2, S$.

Решение:

Для правильного шестиугольника:

Короткая диагональ: $d_1 = a\sqrt{3}$.

$12 = a\sqrt{3} \implies a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$

Радиус описанной окружности: $R = a$.

$R = 4\sqrt{3}$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$r = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$

Длинная диагональ: $d_2 = 2a$.

$d_2 = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

Площадь: $S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

$S = \frac{3(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3(16 \cdot 3)\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 48 \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 24 \sqrt{3} = 72\sqrt{3}$

Ответ: $a_n = 4\sqrt{3}$, $R = 4\sqrt{3}$, $r = 6$, $d_2 = 8\sqrt{3}$, $S = 72\sqrt{3}$

правильный шестиугольник, $a_n = 4$

Дано: правильный шестиугольник, $a_n = 4$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $R, r, d_1, d_2, S$.

Решение:

Для правильного шестиугольника:

Радиус описанной окружности: $R = a$.

$R = 4$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Короткая диагональ: $d_1 = a\sqrt{3}$.

$d_1 = 4\sqrt{3}$

Длинная диагональ: $d_2 = 2a$.

$d_2 = 2 \cdot 4 = 8$

Площадь: $S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

$S = \frac{3 \cdot 4^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 16 \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 8 \sqrt{3} = 24\sqrt{3}$

Ответ: $R = 4$, $r = 2\sqrt{3}$, $d_1 = 4\sqrt{3}$, $d_2 = 8$, $S = 24\sqrt{3}$

правильный шестиугольник, $d_2 = 2\sqrt{3}$

Дано: правильный шестиугольник, $d_2 = 2\sqrt{3}$.

Перевод в СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти: $a_n, R, r, d_1, S$.

Решение:

Для правильного шестиугольника:

Длинная диагональ: $d_2 = 2a$.

$2\sqrt{3} = 2a \implies a = \sqrt{3}$

Радиус описанной окружности: $R = a$.

$R = \sqrt{3}$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$r = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$

Короткая диагональ: $d_1 = a\sqrt{3}$.

$d_1 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$

Площадь: $S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

$S = \frac{3(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3 \sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $a_n = \sqrt{3}$, $R = \sqrt{3}$, $r = \frac{3}{2}$, $d_1 = 3$, $S = \frac{9\sqrt{3}}{2}$