Страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Отложите от точки A вектор, равный $\vec{a}$ :

1)

$\vec{a}$

A

2)

$\vec{a}$

A

Дано:

Задан вектор $\vec{a}$ на координатной сетке и точка $A$ на той же сетке.

Найти:

Вектор, равный $\vec{a}$, отложенный от точки $A$.

Решение:

Для того чтобы отложить вектор, равный $\vec{a}$, от точки $A$, необходимо определить его компоненты (смещение по горизонтали и по вертикали), а затем применить эти же смещения к точке $A$. Компоненты вектора определяются как разность координат его конца и начала.

1)

Определим компоненты вектора $\vec{a}$. Возьмем произвольную точку на сетке как начало отсчета для удобства. Пусть начало вектора $\vec{a}$ находится в точке с условными координатами $(x_1, y_1)$, а конец – в точке с условными координатами $(x_2, y_2)$.

• Визуально по сетке, начало вектора $\vec{a}$ находится на 2 клетки правее и 4 клетки выше относительно нижнего левого угла. Пусть это будет точка $P_1(2, 4)$.
• Конец вектора $\vec{a}$ находится на 6 клеток правее и 6 клеток выше относительно нижнего левого угла. Пусть это будет точка $P_2(6, 6)$.

Компоненты вектора $\vec{a}$ рассчитываются как: $\Delta x = x_2 - x_1$ и $\Delta y = y_2 - y_1$.

Для данного вектора $\vec{a}$: $\Delta x = 6 - 2 = 4$, $\Delta y = 6 - 4 = 2$.

Таким образом, вектор $\vec{a}$ соответствует смещению на 4 клетки вправо и 2 клетки вверх.

Теперь определим координаты точки $A$:

Точка $A$ находится на 3 клетки правее и 2 клетки выше относительно нижнего левого угла, то есть ее условные координаты $A(3, 2)$.

Чтобы отложить вектор, равный $\vec{a}$, от точки $A$, мы прибавляем компоненты вектора к координатам точки $A$. Если точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A)$, то конец нового вектора $B$ будет иметь координаты $(x_B, y_B) = (x_A + \Delta x, y_A + \Delta y)$.

Координаты конца нового вектора: $(3 + 4, 2 + 2) = (7, 4)$.

Следовательно, вектор, равный $\vec{a}$, отложенный от точки $A(3, 2)$, будет начинаться в точке $A(3, 2)$ и заканчиваться в точке $(7, 4)$ на координатной сетке.

Ответ: Вектор, равный $\vec{a}$, начинается в точке $A$ и заканчивается в точке, расположенной на 4 клетки правее и на 2 клетки выше точки $A$.

2)

Определим компоненты вектора $\vec{a}$.

• Начало вектора $\vec{a}$ находится на 2 клетки правее и 7 клеток выше относительно нижнего левого угла. Пусть это будет точка $P_1(2, 7)$.
• Конец вектора $\vec{a}$ находится на 4 клетки правее и 3 клетки выше относительно нижнего левого угла. Пусть это будет точка $P_2(4, 3)$.

Компоненты вектора $\vec{a}$: $\Delta x = 4 - 2 = 2$, $\Delta y = 3 - 7 = -4$.

Таким образом, вектор $\vec{a}$ соответствует смещению на 2 клетки вправо и 4 клетки вниз.

Теперь определим координаты точки $A$:

Точка $A$ находится на 7 клеток правее и 5 клеток выше относительно нижнего левого угла, то есть ее условные координаты $A(7, 5)$.

Координаты конца нового вектора: $(7 + 2, 5 + (-4)) = (9, 1)$.

Следовательно, вектор, равный $\vec{a}$, отложенный от точки $A(7, 5)$, будет начинаться в точке $A(7, 5)$ и заканчиваться в точке $(9, 1)$ на координатной сетке.

Ответ: Вектор, равный $\vec{a}$, начинается в точке $A$ и заканчивается в точке, расположенной на 2 клетки правее и на 4 клетки ниже точки $A$.

1. Постройте векторы $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} - \vec{b}$, $-\vec{a}$:

1) $\vec{a}$

$\vec{b}$

2) $\vec{a}$

$\vec{b}$

3) $\vec{a}$

$\vec{b}$

4) $\vec{a}$

$\vec{b}$

Дано:

На клетчатой сетке заданы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ для четырех различных случаев. Единичный отрезок сетки принимается за 1.

Перевод всех данных в систему СИ:

Данная задача является задачей на построение векторов в двумерном пространстве и не требует перевода данных в систему СИ, так как не оперирует физическими величинами.

Найти:

Построить векторы $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} - \vec{b}$ и $-\vec{a}$ для каждого из четырех случаев.

Решение:

Для построения векторов будем использовать их компонентное представление и правила векторной алгебры. Для удобства описания, будем считать, что начало каждого исходного вектора или точка начала построения находится в условной точке начала координат (0,0) на сетке. Компоненты векторов определяются как смещение по горизонтали (x) и по вертикали (y) от начала до конца вектора. Единица измерения - одна клетка.

Общие правила построения:

Сложение векторов ($\vec{a} + \vec{b}$): Для построения суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используется правило треугольника. Отложите вектор $\vec{a}$ от произвольной начальной точки. От конца вектора $\vec{a}$ отложите вектор $\vec{b}$ (сохраняя его направление и длину). Суммарный вектор $\vec{a} + \vec{b}$ соединяет начальную точку вектора $\vec{a}$ с конечной точкой вектора $\vec{b}$. В компонентной форме, если $\vec{a}=(a_x, a_y)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y)$, то $\vec{a} + \vec{b} = (a_x+b_x, a_y+b_y)$.

Вычитание векторов ($\vec{a} - \vec{b}$): Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ может быть представлена как сумма вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного $\vec{b}$, то есть $\vec{a} + (-\vec{b})$. Сначала постройте вектор $-\vec{b}$, который имеет ту же длину, что и $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону. Затем примените правило треугольника для сложения векторов $\vec{a}$ и $-\vec{b}$. В компонентной форме, если $\vec{a}=(a_x, a_y)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y)$, то $\vec{a} - \vec{b} = (a_x-b_x, a_y-b_y)$.

Противоположный вектор ($-\vec{a}$): Вектор $-\vec{a}$ имеет ту же длину, что и $\vec{a}$, но направлен в прямо противоположную сторону. В компонентной форме, если $\vec{a}=(a_x, a_y)$, то $-\vec{a} = (-a_x, -a_y)$.

Применяем эти правила к каждому случаю:

1)

В данном случае, исходя из изображения:

Вектор $\vec{a}$ имеет компоненты $(3, 0)$ (3 единицы вправо).

Вектор $\vec{b}$ имеет компоненты $(2, 0)$ (2 единицы вправо).

Построение $\vec{a} + \vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (3, 0) + (2, 0) = (3+2, 0+0) = (5, 0)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (3,0). От (3,0) отложите $\vec{b}$ до (5,0). Искомый вектор от (0,0) до (5,0).

Построение $\vec{a} - \vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (3, 0) - (2, 0) = (3-2, 0-0) = (1, 0)$. Вектор $-\vec{b}$ имеет компоненты $(-2, 0)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (3,0). От (3,0) отложите $-\vec{b}$ до (1,0). Искомый вектор от (0,0) до (1,0).

Построение $-\vec{a}$:

$-\vec{a} = -(3, 0) = (-3, 0)$. Для построения отложите от (0,0) до (-3,0).

Ответ: Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет компоненты $(5, 0)$. Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет компоненты $(1, 0)$. Вектор $-\vec{a}$ имеет компоненты $(-3, 0)$.

2)

В данном случае, исходя из изображения:

Вектор $\vec{a}$ имеет компоненты $(2, 0)$ (2 единицы вправо).

Вектор $\vec{b}$ имеет компоненты $(-3, 0)$ (3 единицы влево).

Построение $\vec{a} + \vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (2, 0) + (-3, 0) = (2-3, 0+0) = (-1, 0)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (2,0). От (2,0) отложите $\vec{b}$ до ((-1,0). Искомый вектор от (0,0) до (-1,0).

Построение $\vec{a} - \vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (2, 0) - (-3, 0) = (2+3, 0-0) = (5, 0)$. Вектор $-\vec{b}$ имеет компоненты $(3, 0)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (2,0). От (2,0) отложите $-\vec{b}$ до (5,0). Искомый вектор от (0,0) до (5,0).

Построение $-\vec{a}$:

$-\vec{a} = -(2, 0) = (-2, 0)$. Для построения отложите от (0,0) до (-2,0).

Ответ: Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет компоненты $(-1, 0)$. Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет компоненты $(5, 0)$. Вектор $-\vec{a}$ имеет компоненты $(-2, 0)$.

3)

В данном случае, исходя из изображения:

Вектор $\vec{a}$ имеет компоненты $(2, 2)$ (2 единицы вправо, 2 единицы вверх).

Вектор $\vec{b}$ имеет компоненты $(1, -3)$ (1 единица вправо, 3 единицы вниз).

Построение $\vec{a} + \vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (2, 2) + (1, -3) = (2+1, 2-3) = (3, -1)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (2,2). От (2,2) отложите $\vec{b}$ до (3,-1). Искомый вектор от (0,0) до (3,-1).

Построение $\vec{a} - \vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (2, 2) - (1, -3) = (2-1, 2-(-3)) = (1, 5)$. Вектор $-\vec{b}$ имеет компоненты $(-1, 3)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (2,2). От (2,2) отложите $-\vec{b}$ до (1,5). Искомый вектор от (0,0) до (1,5).

Построение $-\vec{a}$:

$-\vec{a} = -(2, 2) = (-2, -2)$. Для построения отложите от (0,0) до (-2,-2).

Ответ: Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет компоненты $(3, -1)$. Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет компоненты $(1, 5)$. Вектор $-\vec{a}$ имеет компоненты $(-2, -2)$.

4)

В данном случае, исходя из изображения:

Вектор $\vec{a}$ имеет компоненты $(3, 0)$ (3 единицы вправо).

Вектор $\vec{b}$ имеет компоненты $(1, -3)$ (1 единица вправо, 3 единицы вниз).

Построение $\vec{a} + \vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (3, 0) + (1, -3) = (3+1, 0-3) = (4, -3)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (3,0). От (3,0) отложите $\vec{b}$ до (4,-3). Искомый вектор от (0,0) до (4,-3).

Построение $\vec{a} - \vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (3, 0) - (1, -3) = (3-1, 0-(-3)) = (2, 3)$. Вектор $-\vec{b}$ имеет компоненты $(-1, 3)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (3,0). От (3,0) отложите $-\vec{b}$ до (2,3). Искомый вектор от (0,0) до (2,3).

Построение $-\vec{a}$:

$-\vec{a} = -(3, 0) = (-3, 0)$. Для построения отложите от (0,0) до (-3,0).

Ответ: Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет компоненты $(4, -3)$. Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет компоненты $(2, 3)$. Вектор $-\vec{a}$ имеет компоненты $(-3, 0)$.

2. Упростите выражение:

1) $\vec{AB} + \vec{BC}$;

2) $\vec{KM} + \vec{MC}$;

3) $\vec{AB} - \vec{AC}$;

4) $\vec{KM} - \vec{KC}$;

5) $\vec{AB} - \vec{CB}$;

6) $\vec{KM} - \vec{MC}$;

7) $\vec{MN} + \vec{KE} + \vec{NK}$;

8) $\vec{AB} + \vec{BE} + \vec{EK}$;

9) $\vec{AB} + \vec{CM} + \vec{BC} - \vec{AM}$;

10) $\vec{MN} + \vec{DK} - \vec{DN} + \vec{KM}$;

11) $(\vec{HB} + \vec{BA} - \vec{TA}) - (\vec{PX} - \vec{TX})=;$

12) $(\vec{MN} + \vec{NK} - \vec{PK}) - (\vec{CD} - \vec{PD}).$

1)

Дано: $\vec{AB} + \vec{BC}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Используем правило сложения векторов (правило треугольника), где конец первого вектора является началом второго. Их сумма равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$

2)

Дано: $\vec{KM} + \vec{MC}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Используем правило сложения векторов (правило треугольника).

$\vec{KM} + \vec{MC} = \vec{KC}$

Ответ: $\vec{KC}$

3)

Дано: $\vec{AB} - \vec{AC}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Векторную разность $\vec{AB} - \vec{AC}$ можно представить как сумму $\vec{AB} + (-\vec{AC})$. Вектор $-\vec{AC}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, то есть $-\vec{AC} = \vec{CA}$.

Тогда $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{CA}$.

Переставим слагаемые: $\vec{CA} + \vec{AB}$.

Используем правило треугольника: $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

Ответ: $\vec{CB}$

4)

Дано: $\vec{KM} - \vec{KC}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Преобразуем разность в сумму: $\vec{KM} - \vec{KC} = \vec{KM} + (-\vec{KC}) = \vec{KM} + \vec{CK}$.

Переставим слагаемые: $\vec{CK} + \vec{KM}$.

Используем правило треугольника: $\vec{CK} + \vec{KM} = \vec{CM}$.

Ответ: $\vec{CM}$

5)

Дано: $\vec{AB} - \vec{CB}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Преобразуем разность в сумму: $\vec{AB} - \vec{CB} = \vec{AB} + (-\vec{CB}) = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Используем правило треугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Ответ: $\vec{AC}$

6)

Дано: $\vec{KM} - \vec{MC}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Преобразуем разность в сумму: $\vec{KM} - \vec{MC} = \vec{KM} + (-\vec{MC}) = \vec{KM} + \vec{CM}$.

Данное выражение представляет собой сумму двух векторов $\vec{KM}$ и $\vec{CM}$, которые имеют общую точку $M$, но не образуют цепочку "конец-начало", что позволяло бы их свести к одному вектору по правилу треугольника. В общем случае, без дополнительных условий о расположении точек K, M, C, это выражение не упрощается до одного вектора. Это является наиболее упрощенной формой.

Ответ: $\vec{KM} + \vec{CM}$

7)

Дано: $\vec{MN} + \vec{KE} + \vec{NK}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Перегруппируем слагаемые, чтобы сформировать цепочки для правила треугольника.

$\vec{MN} + \vec{KE} + \vec{NK} = (\vec{MN} + \vec{NK}) + \vec{KE}$

Применяем правило треугольника к первой скобке: $\vec{MN} + \vec{NK} = \vec{MK}$.

Тогда выражение становится: $\vec{MK} + \vec{KE}$.

Снова применяем правило треугольника: $\vec{MK} + \vec{KE} = \vec{ME}$.

Ответ: $\vec{ME}$

8)

Дано: $\vec{AB} + \vec{BE} + \vec{EK}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Последовательно применяем правило треугольника.

$(\vec{AB} + \vec{BE}) + \vec{EK}$

$\vec{AE} + \vec{EK}$

$\vec{AK}$

Ответ: $\vec{AK}$

9)

Дано: $\vec{AB} + \vec{CM} + \vec{BC} - \vec{AM}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Перегруппируем слагаемые и преобразуем вычитание в сложение.

$\vec{AB} + \vec{CM} + \vec{BC} - \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CM} + (-\vec{AM})$

Применяем правило треугольника к первым двум векторам: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Выражение становится: $\vec{AC} + \vec{CM} + (-\vec{AM})$.

Снова применяем правило треугольника: $\vec{AC} + \vec{CM} = \vec{AM}$.

Выражение становится: $\vec{AM} + (-\vec{AM})$.

Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору: $\vec{AM} - \vec{AM} = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$

10)

Дано: $\vec{MN} + \vec{DK} - \vec{DN} + \vec{KM}$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Преобразуем вычитание в сложение: $-\vec{DN} = \vec{ND}$.

$\vec{MN} + \vec{DK} + \vec{ND} + \vec{KM}$

Перегруппируем слагаемые для образования цепочек:

$(\vec{MN} + \vec{ND}) + (\vec{DK} + \vec{KM})$

Применяем правило треугольника к каждой скобке:

$\vec{MN} + \vec{ND} = \vec{MD}$.

$\vec{DK} + \vec{KM} = \vec{DM}$.

Выражение становится: $\vec{MD} + \vec{DM}$.

Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору: $\vec{MD} + \vec{DM} = \vec{MM} = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$

11)

Дано: $(\vec{HB} + \vec{BA} - \vec{TA}) - (\vec{PX} - \vec{TX})$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Упростим каждое выражение в скобках отдельно.

Первая скобка: $\vec{HB} + \vec{BA} - \vec{TA}$

Применяем правило треугольника: $\vec{HB} + \vec{BA} = \vec{HA}$.

Выражение становится: $\vec{HA} - \vec{TA}$.

Преобразуем вычитание: $\vec{HA} + (-\vec{TA}) = \vec{HA} + \vec{AT}$.

Применяем правило треугольника: $\vec{HA} + \vec{AT} = \vec{HT}$.

Вторая скобка: $\vec{PX} - \vec{TX}$

Преобразуем вычитание: $\vec{PX} + (-\vec{TX}) = \vec{PX} + \vec{XT}$.

Применяем правило треугольника: $\vec{PX} + \vec{XT} = \vec{PT}$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно:

$\vec{HT} - \vec{PT}$

Преобразуем вычитание: $\vec{HT} + (-\vec{PT}) = \vec{HT} + \vec{TP}$.

Применяем правило треугольника: $\vec{HT} + \vec{TP} = \vec{HP}$.

Ответ: $\vec{HP}$

12)

Дано: $(\vec{MN} + \vec{NK} - \vec{PK}) - (\vec{CD} - \vec{PD})$

Найти: Упростить выражение.

Решение:

Упростим каждое выражение в скобках отдельно.

Первая скобка: $\vec{MN} + \vec{NK} - \vec{PK}$

Применяем правило треугольника: $\vec{MN} + \vec{NK} = \vec{MK}$.

Выражение становится: $\vec{MK} - \vec{PK}$.

Преобразуем вычитание: $\vec{MK} + (-\vec{PK}) = \vec{MK} + \vec{KP}$.

Применяем правило треугольника: $\vec{MK} + \vec{KP} = \vec{MP}$.

Вторая скобка: $\vec{CD} - \vec{PD}$

Преобразуем вычитание: $\vec{CD} + (-\vec{PD}) = \vec{CD} + \vec{DP}$.

Переставим слагаемые: $\vec{DP} + \vec{CD}$.

Применяем правило треугольника: $\vec{DP} + \vec{CD} = \vec{CP}$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно:

$\vec{MP} - \vec{CP}$

Преобразуем вычитание: $\vec{MP} + (-\vec{CP}) = \vec{MP} + \vec{PC}$.

Применяем правило треугольника: $\vec{MP} + \vec{PC} = \vec{MC}$.

Ответ: $\vec{MC}$