Страница 215 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Найдите неизвестные координаты:

№) A B $\vec{AB}$ $2\vec{AB}$ $-0,5\vec{AB}$

1) (2; 3) (-1; 2)

2) (2; 4) (-1; 1)

3) (2; 0) (-6; 2)

4) (-2; 1) (4; -3)

5) (-1; 3) (4; 1)

6) (-2; 4) (3; 0)

7) (-1; 5) (3; -1)

8) (2; -2) (-6; 4)

1)

Дано

координаты точки $A = (2; 3)$
координаты точки $B = (-1; 2)$

Найти:

координаты вектора $\vec{AB}$
координаты вектора $2\vec{AB}$
координаты вектора $-0.5\vec{AB}$

Решение:

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ по формуле $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$:
$\vec{AB} = (-1 - 2, 2 - 3) = (-3, -1)$
2. Найдем координаты вектора $2\vec{AB}$ по формуле $k\vec{v} = (kx, ky)$:
$2\vec{AB} = (2 \cdot (-3), 2 \cdot (-1)) = (-6, -2)$
3. Найдем координаты вектора $-0.5\vec{AB}$ по формуле $k\vec{v} = (kx, ky)$:
$-0.5\vec{AB} = (-0.5 \cdot (-3), -0.5 \cdot (-1)) = (1.5, 0.5)$

Ответ: $\vec{AB} = (-3, -1)$, $2\vec{AB} = (-6, -2)$, $-0.5\vec{AB} = (1.5, 0.5)$

2)

Дано

координаты точки $B = (2; 4)$
координаты вектора $\vec{AB} = (-1; 1)$

Найти:

координаты точки $A$
координаты вектора $2\vec{AB}$
координаты вектора $-0.5\vec{AB}$

Решение:

1. Пусть координаты точки $A = (x_A, y_A)$. Тогда $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$.
Получаем систему уравнений:
$2 - x_A = -1 \Rightarrow x_A = 2 - (-1) = 3$
$4 - y_A = 1 \Rightarrow y_A = 4 - 1 = 3$
Таким образом, $A = (3; 3)$.
2. Найдем координаты вектора $2\vec{AB}$:
$2\vec{AB} = (2 \cdot (-1), 2 \cdot 1) = (-2, 2)$
3. Найдем координаты вектора $-0.5\vec{AB}$:
$-0.5\vec{AB} = (-0.5 \cdot (-1), -0.5 \cdot 1) = (0.5, -0.5)$

Ответ: $A = (3; 3)$, $2\vec{AB} = (-2, 2)$, $-0.5\vec{AB} = (0.5, -0.5)$

3)

Дано

координаты точки $A = (2; 0)$
координаты вектора $2\vec{AB} = (-6; 2)$

Найти:

координаты точки $B$
координаты вектора $\vec{AB}$
координаты вектора $-0.5\vec{AB}$

Решение:

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ из $2\vec{AB} = (-6; 2)$:
$\vec{AB} = (\frac{-6}{2}, \frac{2}{2}) = (-3, 1)$
2. Пусть координаты точки $B = (x_B, y_B)$. Тогда $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$.
Получаем систему уравнений:
$x_B - 2 = -3 \Rightarrow x_B = -3 + 2 = -1$
$y_B - 0 = 1 \Rightarrow y_B = 1$
Таким образом, $B = (-1; 1)$.
3. Найдем координаты вектора $-0.5\vec{AB}$:
$-0.5\vec{AB} = (-0.5 \cdot (-3), -0.5 \cdot 1) = (1.5, -0.5)$

Ответ: $B = (-1; 1)$, $\vec{AB} = (-3, 1)$, $-0.5\vec{AB} = (1.5, -0.5)$

4)

Дано

координаты точки $A = (-2; 1)$
координаты вектора $-0.5\vec{AB} = (4; -3)$

Найти:

координаты точки $B$
координаты вектора $\vec{AB}$
координаты вектора $2\vec{AB}$

Решение:

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ из $-0.5\vec{AB} = (4; -3)$:
$\vec{AB} = (\frac{4}{-0.5}, \frac{-3}{-0.5}) = (-8, 6)$
2. Пусть координаты точки $B = (x_B, y_B)$. Тогда $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$.
Получаем систему уравнений:
$x_B - (-2) = -8 \Rightarrow x_B + 2 = -8 \Rightarrow x_B = -8 - 2 = -10$
$y_B - 1 = 6 \Rightarrow y_B = 6 + 1 = 7$
Таким образом, $B = (-10; 7)$.
3. Найдем координаты вектора $2\vec{AB}$:
$2\vec{AB} = (2 \cdot (-8), 2 \cdot 6) = (-16, 12)$

Ответ: $B = (-10; 7)$, $\vec{AB} = (-8, 6)$, $2\vec{AB} = (-16, 12)$

5)

Дано

координаты точки $A = (-1; 3)$
координаты точки $B = (4; 1)$

Найти:

координаты вектора $\vec{AB}$
координаты вектора $2\vec{AB}$
координаты вектора $-0.5\vec{AB}$

Решение:

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ по формуле $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$:
$\vec{AB} = (4 - (-1), 1 - 3) = (5, -2)$
2. Найдем координаты вектора $2\vec{AB}$:
$2\vec{AB} = (2 \cdot 5, 2 \cdot (-2)) = (10, -4)$
3. Найдем координаты вектора $-0.5\vec{AB}$:
$-0.5\vec{AB} = (-0.5 \cdot 5, -0.5 \cdot (-2)) = (-2.5, 1)$

Ответ: $\vec{AB} = (5, -2)$, $2\vec{AB} = (10, -4)$, $-0.5\vec{AB} = (-2.5, 1)$

6)

Дано

координаты точки $A = (-2; 4)$
координаты вектора $\vec{AB} = (3; 0)$

Найти:

координаты точки $B$
координаты вектора $2\vec{AB}$
координаты вектора $-0.5\vec{AB}$

Решение:

1. Пусть координаты точки $B = (x_B, y_B)$. Тогда $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$.
Получаем систему уравнений:
$x_B - (-2) = 3 \Rightarrow x_B + 2 = 3 \Rightarrow x_B = 3 - 2 = 1$
$y_B - 4 = 0 \Rightarrow y_B = 4$
Таким образом, $B = (1; 4)$.
2. Найдем координаты вектора $2\vec{AB}$:
$2\vec{AB} = (2 \cdot 3, 2 \cdot 0) = (6, 0)$
3. Найдем координаты вектора $-0.5\vec{AB}$:
$-0.5\vec{AB} = (-0.5 \cdot 3, -0.5 \cdot 0) = (-1.5, 0)$

Ответ: $B = (1; 4)$, $2\vec{AB} = (6, 0)$, $-0.5\vec{AB} = (-1.5, 0)$

7)

Дано

координаты точки $B = (-1; 5)$
координаты вектора $-0.5\vec{AB} = (3; -1)$

Найти:

координаты точки $A$
координаты вектора $\vec{AB}$
координаты вектора $2\vec{AB}$

Решение:

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ из $-0.5\vec{AB} = (3; -1)$:
$\vec{AB} = (\frac{3}{-0.5}, \frac{-1}{-0.5}) = (-6, 2)$
2. Пусть координаты точки $A = (x_A, y_A)$. Тогда $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$.
Получаем систему уравнений:
$-1 - x_A = -6 \Rightarrow x_A = -1 - (-6) = 5$
$5 - y_A = 2 \Rightarrow y_A = 5 - 2 = 3$
Таким образом, $A = (5; 3)$.
3. Найдем координаты вектора $2\vec{AB}$:
$2\vec{AB} = (2 \cdot (-6), 2 \cdot 2) = (-12, 4)$

Ответ: $A = (5; 3)$, $\vec{AB} = (-6, 2)$, $2\vec{AB} = (-12, 4)$

8)

Дано

координаты точки $B = (2; -2)$
координаты вектора $2\vec{AB} = (-6; 4)$

Найти:

координаты точки $A$
координаты вектора $\vec{AB}$
координаты вектора $-0.5\vec{AB}$

Решение:

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ из $2\vec{AB} = (-6; 4)$:
$\vec{AB} = (\frac{-6}{2}, \frac{4}{2}) = (-3, 2)$
2. Пусть координаты точки $A = (x_A, y_A)$. Тогда $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$.
Получаем систему уравнений:
$2 - x_A = -3 \Rightarrow x_A = 2 - (-3) = 5$
$-2 - y_A = 2 \Rightarrow y_A = -2 - 2 = -4$
Таким образом, $A = (5; -4)$.
3. Найдем координаты вектора $-0.5\vec{AB}$:
$-0.5\vec{AB} = (-0.5 \cdot (-3), -0.5 \cdot 2) = (1.5, -1)$

Ответ: $A = (5; -4)$, $\vec{AB} = (-3, 2)$, $-0.5\vec{AB} = (1.5, -1)$