Номер 1, страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Постройте векторы $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} - \vec{b}$, $-\vec{a}$:

1) $\vec{a}$

$\vec{b}$

2) $\vec{a}$

$\vec{b}$

3) $\vec{a}$

$\vec{b}$

4) $\vec{a}$

$\vec{b}$

Дано:

На клетчатой сетке заданы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ для четырех различных случаев. Единичный отрезок сетки принимается за 1.

Перевод всех данных в систему СИ:

Данная задача является задачей на построение векторов в двумерном пространстве и не требует перевода данных в систему СИ, так как не оперирует физическими величинами.

Найти:

Построить векторы $\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{a} - \vec{b}$ и $-\vec{a}$ для каждого из четырех случаев.

Решение:

Для построения векторов будем использовать их компонентное представление и правила векторной алгебры. Для удобства описания, будем считать, что начало каждого исходного вектора или точка начала построения находится в условной точке начала координат (0,0) на сетке. Компоненты векторов определяются как смещение по горизонтали (x) и по вертикали (y) от начала до конца вектора. Единица измерения - одна клетка.

Общие правила построения:

Сложение векторов ($\vec{a} + \vec{b}$): Для построения суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используется правило треугольника. Отложите вектор $\vec{a}$ от произвольной начальной точки. От конца вектора $\vec{a}$ отложите вектор $\vec{b}$ (сохраняя его направление и длину). Суммарный вектор $\vec{a} + \vec{b}$ соединяет начальную точку вектора $\vec{a}$ с конечной точкой вектора $\vec{b}$. В компонентной форме, если $\vec{a}=(a_x, a_y)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y)$, то $\vec{a} + \vec{b} = (a_x+b_x, a_y+b_y)$.

Вычитание векторов ($\vec{a} - \vec{b}$): Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ может быть представлена как сумма вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного $\vec{b}$, то есть $\vec{a} + (-\vec{b})$. Сначала постройте вектор $-\vec{b}$, который имеет ту же длину, что и $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону. Затем примените правило треугольника для сложения векторов $\vec{a}$ и $-\vec{b}$. В компонентной форме, если $\vec{a}=(a_x, a_y)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y)$, то $\vec{a} - \vec{b} = (a_x-b_x, a_y-b_y)$.

Противоположный вектор ($-\vec{a}$): Вектор $-\vec{a}$ имеет ту же длину, что и $\vec{a}$, но направлен в прямо противоположную сторону. В компонентной форме, если $\vec{a}=(a_x, a_y)$, то $-\vec{a} = (-a_x, -a_y)$.

Применяем эти правила к каждому случаю:

1)

В данном случае, исходя из изображения:

Вектор $\vec{a}$ имеет компоненты $(3, 0)$ (3 единицы вправо).

Вектор $\vec{b}$ имеет компоненты $(2, 0)$ (2 единицы вправо).

Построение $\vec{a} + \vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (3, 0) + (2, 0) = (3+2, 0+0) = (5, 0)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (3,0). От (3,0) отложите $\vec{b}$ до (5,0). Искомый вектор от (0,0) до (5,0).

Построение $\vec{a} - \vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (3, 0) - (2, 0) = (3-2, 0-0) = (1, 0)$. Вектор $-\vec{b}$ имеет компоненты $(-2, 0)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (3,0). От (3,0) отложите $-\vec{b}$ до (1,0). Искомый вектор от (0,0) до (1,0).

Построение $-\vec{a}$:

$-\vec{a} = -(3, 0) = (-3, 0)$. Для построения отложите от (0,0) до (-3,0).

Ответ: Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет компоненты $(5, 0)$. Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет компоненты $(1, 0)$. Вектор $-\vec{a}$ имеет компоненты $(-3, 0)$.

2)

В данном случае, исходя из изображения:

Вектор $\vec{a}$ имеет компоненты $(2, 0)$ (2 единицы вправо).

Вектор $\vec{b}$ имеет компоненты $(-3, 0)$ (3 единицы влево).

Построение $\vec{a} + \vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (2, 0) + (-3, 0) = (2-3, 0+0) = (-1, 0)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (2,0). От (2,0) отложите $\vec{b}$ до ((-1,0). Искомый вектор от (0,0) до (-1,0).

Построение $\vec{a} - \vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (2, 0) - (-3, 0) = (2+3, 0-0) = (5, 0)$. Вектор $-\vec{b}$ имеет компоненты $(3, 0)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (2,0). От (2,0) отложите $-\vec{b}$ до (5,0). Искомый вектор от (0,0) до (5,0).

Построение $-\vec{a}$:

$-\vec{a} = -(2, 0) = (-2, 0)$. Для построения отложите от (0,0) до (-2,0).

Ответ: Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет компоненты $(-1, 0)$. Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет компоненты $(5, 0)$. Вектор $-\vec{a}$ имеет компоненты $(-2, 0)$.

3)

В данном случае, исходя из изображения:

Вектор $\vec{a}$ имеет компоненты $(2, 2)$ (2 единицы вправо, 2 единицы вверх).

Вектор $\vec{b}$ имеет компоненты $(1, -3)$ (1 единица вправо, 3 единицы вниз).

Построение $\vec{a} + \vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (2, 2) + (1, -3) = (2+1, 2-3) = (3, -1)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (2,2). От (2,2) отложите $\vec{b}$ до (3,-1). Искомый вектор от (0,0) до (3,-1).

Построение $\vec{a} - \vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (2, 2) - (1, -3) = (2-1, 2-(-3)) = (1, 5)$. Вектор $-\vec{b}$ имеет компоненты $(-1, 3)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (2,2). От (2,2) отложите $-\vec{b}$ до (1,5). Искомый вектор от (0,0) до (1,5).

Построение $-\vec{a}$:

$-\vec{a} = -(2, 2) = (-2, -2)$. Для построения отложите от (0,0) до (-2,-2).

Ответ: Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет компоненты $(3, -1)$. Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет компоненты $(1, 5)$. Вектор $-\vec{a}$ имеет компоненты $(-2, -2)$.

4)

В данном случае, исходя из изображения:

Вектор $\vec{a}$ имеет компоненты $(3, 0)$ (3 единицы вправо).

Вектор $\vec{b}$ имеет компоненты $(1, -3)$ (1 единица вправо, 3 единицы вниз).

Построение $\vec{a} + \vec{b}$:

$\vec{a} + \vec{b} = (3, 0) + (1, -3) = (3+1, 0-3) = (4, -3)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (3,0). От (3,0) отложите $\vec{b}$ до (4,-3). Искомый вектор от (0,0) до (4,-3).

Построение $\vec{a} - \vec{b}$:

$\vec{a} - \vec{b} = (3, 0) - (1, -3) = (3-1, 0-(-3)) = (2, 3)$. Вектор $-\vec{b}$ имеет компоненты $(-1, 3)$. Для построения отложите $\vec{a}$ от (0,0) до (3,0). От (3,0) отложите $-\vec{b}$ до (2,3). Искомый вектор от (0,0) до (2,3).

Построение $-\vec{a}$:

$-\vec{a} = -(3, 0) = (-3, 0)$. Для построения отложите от (0,0) до (-3,0).

Ответ: Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ имеет компоненты $(4, -3)$. Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ имеет компоненты $(2, 3)$. Вектор $-\vec{a}$ имеет компоненты $(-3, 0)$.