Номер 3, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

3. Используя рисунок, упростите выражение:

ABCD – параллелограмм;

1) $\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{OB}$;

2) $\vec{AB} - \vec{DA} + \vec{CD} - \vec{OD}$.

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм. $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Найти:

Упростить выражения:

1) $\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{OB}$

2) $\vec{AB} - \vec{DA} + \vec{CD} - \vec{OD}$

Решение:

В параллелограмме $ABCD$ выполняются следующие векторные соотношения:

• Противоположные стороны равны по длине и параллельны. Векторы, направленные вдоль противоположных сторон, могут быть равны или противоположны. Например: $\vec{AB} = \vec{DC}$, $\vec{BC} = \vec{AD}$, $\vec{BA} = \vec{CD}$, $\vec{CD} = -\vec{AB}$.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. То есть $O$ является серединой $AC$ и $BD$. Это означает, что $\vec{AO} = \vec{OC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD}$. Также отсюда следуют равенства: $\vec{DO} = \vec{OB}$, $\vec{CO} = \vec{OA}$, $\vec{OA} = -\vec{OC}$, $\vec{OB} = -\vec{OD}$.
• Правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.
• Вычитание вектора равно сложению противоположного вектора: $\vec{X} - \vec{Y} = \vec{X} + (-\vec{Y}) = \vec{X} + \vec{Y}'$, где $\vec{Y}'$ имеет ту же длину, что и $\vec{Y}$, но противоположное направление.

1) Упростите выражение $\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{OB}$

Применим известные векторные равенства:

• В параллелограмме $ABCD$, вектор $\vec{BA}$ равен вектору $\vec{CD}$ (они параллельны, имеют одинаковую длину и направление). То есть, $\vec{BA} = \vec{CD}$.
• Вычитание вектора $\vec{OB}$ равно сложению вектора $\vec{BO}$ (противоположного по направлению): $-\vec{OB} = \vec{BO}$.

Подставим эти соотношения в исходное выражение: $\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{OB} = \vec{CB} + \vec{CD} - \vec{CD} + \vec{BO}$

Векторы $\vec{CD}$ и $-\vec{CD}$ взаимно уничтожаются: $\vec{CB} + \vec{BO}$

Используя правило сложения векторов (правило треугольника), $\vec{CB} + \vec{BO}$ образует вектор от начала первого вектора к концу второго: $\vec{CB} + \vec{BO} = \vec{CO}$

Ответ: $\vec{CO}$

2) Упростите выражение $\vec{AB} - \vec{DA} + \vec{CD} - \vec{OD}$

Применим известные векторные равенства:

• В параллелограмме $ABCD$, вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{AB}$ по направлению, но равен ему по длине. То есть, $\vec{CD} = -\vec{AB}$.
• Вычитание вектора $\vec{DA}$ равно сложению вектора $\vec{AD}$: $-\vec{DA} = \vec{AD}$.
• Вычитание вектора $\vec{OD}$ равно сложению вектора $\vec{DO}$: $-\vec{OD} = \vec{DO}$.

Подставим эти соотношения в исходное выражение: $\vec{AB} - \vec{DA} + \vec{CD} - \vec{OD} = \vec{AB} + \vec{AD} + (-\vec{AB}) + \vec{DO}$

Векторы $\vec{AB}$ и $-\vec{AB}$ взаимно уничтожаются: $\vec{AD} + \vec{DO}$

Используя правило сложения векторов (правило треугольника), $\vec{AD} + \vec{DO}$ образует вектор от начала первого вектора к концу второго: $\vec{AD} + \vec{DO} = \vec{AO}$

Ответ: $\vec{AO}$