Номер 53, страница 190 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

53. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 40 см. Найдите расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра описанной около него окружности. $(2,5\sqrt{41} \text{ см})$

Дано

Прямоугольный треугольник со следующими длинами катетов:

$a = 9 \, \text{см}$
$b = 40 \, \text{см}$

Найти

Расстояние $d$ от центра вписанной окружности до центра описанной окружности.

Решение

1. Найдем длину гипотенузы $c$ прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$ $c^2 = 9^2 + 40^2$ $c^2 = 81 + 1600$ $c^2 = 1681$ $c = \sqrt{1681}$ $c = 41 \, \text{см}$

2. Найдем радиус $r$ вписанной окружности для прямоугольного треугольника. Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник: $r = \frac{a + b - c}{2}$ $r = \frac{9 + 40 - 41}{2}$ $r = \frac{49 - 41}{2}$ $r = \frac{8}{2}$ $r = 4 \, \text{см}$

3. Найдем радиус $R$ описанной окружности для прямоугольного треугольника. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$ $R = \frac{41}{2}$ $R = 20.5 \, \text{см}$

4. Определим координаты центров окружностей. Пусть вершины прямоугольного треугольника находятся в точках $A(0, a)$, $B(b, 0)$ и $C(0, 0)$ (с прямым углом в точке $C$). В нашем случае, $A(0, 9)$, $B(40, 0)$, $C(0, 0)$ (или $A(0, 40)$, $B(9, 0)$, $C(0, 0)$ - это не повлияет на результат, так как оси симметричны). Центр вписанной окружности $O_i$ имеет координаты $(r, r)$, так как он равноудален от катетов и находится внутри угла: $O_i = (4, 4)$ Центр описанной окружности $O_o$ является серединой гипотенузы. Если вершины гипотенузы $A(0, a)$ и $B(b, 0)$, то координаты $O_o$ будут: $O_o = \left( \frac{0 + b}{2}, \frac{a + 0}{2} \right)$ $O_o = \left( \frac{40}{2}, \frac{9}{2} \right)$ $O_o = (20, 4.5)$

5. Найдем расстояние $d$ между центрами $O_i(x_1, y_1)$ и $O_o(x_2, y_2)$ по формуле расстояния между двумя точками: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $d = \sqrt{(20 - 4)^2 + (4.5 - 4)^2}$ $d = \sqrt{(16)^2 + (0.5)^2}$ $d = \sqrt{256 + 0.25}$ $d = \sqrt{256.25}$

Представим $256.25$ в виде дроби: $256.25 = \frac{25625}{100} = \frac{1025}{4}$. $d = \sqrt{\frac{1025}{4}}$ $d = \frac{\sqrt{1025}}{\sqrt{4}}$ $d = \frac{\sqrt{25 \cdot 41}}{2}$ $d = \frac{5\sqrt{41}}{2}$ $d = 2.5\sqrt{41} \, \text{см}$

Ответ

Расстояние от центра вписанной окружности до центра описанной окружности составляет $2.5\sqrt{41} \, \text{см}$.