Номер 49, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

49. Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 2 см. (10 см)

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Длины сторон образуют арифметическую прогрессию.

Разность арифметической прогрессии $d = 2$ см.

Перевод в СИ:

$d = 2$ см $= 0.02$ м.

Найти:

Длина гипотенузы $c$.

Решение:

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника, образующие арифметическую прогрессию, равны $a, b, c$. Так как стороны образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 2$ см, мы можем представить их как $x - d$, $x$, $x + d$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, поэтому гипотенуза будет равна $x + d$. Катеты будут равны $x - d$ и $x$. Подставляем значение разности $d=2$ см:

Стороны треугольника: $a = (x - 2)$ см, $b = x$ см, $c = (x + 2)$ см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставляем выражения для сторон:

$(x - 2)^2 + x^2 = (x + 2)^2$

Раскрываем скобки:

$(x^2 - 4x + 4) + x^2 = (x^2 + 4x + 4)$

Объединяем члены:

$2x^2 - 4x + 4 = x^2 + 4x + 4$

Переносим все члены в одну сторону:

$2x^2 - x^2 - 4x - 4x + 4 - 4 = 0$

$x^2 - 8x = 0$

Выносим $x$ за скобки:

$x(x - 8) = 0$

Получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ или $x_2 = 8$.

Длина стороны не может быть равной нулю или отрицательной. Если $x = 0$, то стороны будут: $(-2, 0, 2)$, что не является допустимым для длин сторон треугольника. Если $x = 8$, то длины сторон будут:

• Первый катет: $a = x - 2 = 8 - 2 = 6$ см

• Второй катет: $b = x = 8$ см

• Гипотенуза: $c = x + 2 = 8 + 2 = 10$ см

Проверим эти длины по теореме Пифагора:

$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$10^2 = 100$

Так как $100 = 100$, эти длины сторон соответствуют прямоугольному треугольнику.

Длина гипотенузы равна $10$ см.

Ответ:

Длина гипотенузы: 10 см.