Номер 43, страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

43. a) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 дм, а проекция меньшего катета на гипотенузу равна 1,8 дм. Найдите длину окружности, вписанной в этот треугольник.

б) Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника, периметр которого равен 28 см, а площадь равна 48 см$^2$.

(a) $\approx$ 6,28 дм; б) $\approx$ 33,2 см)

a)

Дано

Прямоугольный треугольник.

Гипотенуза $c = 5$ дм.

Проекция меньшего катета на гипотенузу $a_c = 1.8$ дм.

Перевод в систему СИ:

$c = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

$a_c = 1.8 \text{ дм} = 0.18 \text{ м}$

Найти:

Длина окружности, вписанной в треугольник, $L_{вп}$

Решение

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$.

Пусть $a$ — меньший катет, тогда его проекция на гипотенузу равна $a_c$.

Из свойства прямоугольного треугольника квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:

$a^2 = c \cdot a_c$

Подставим известные значения:

$a^2 = 5 \text{ дм} \cdot 1.8 \text{ дм} = 9 \text{ дм}^2$

$a = \sqrt{9} = 3 \text{ дм}$

Теперь, используя теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, найдем второй катет $b$:

$3^2 + b^2 = 5^2$

$9 + b^2 = 25$

$b^2 = 25 - 9 = 16$

$b = \sqrt{16} = 4 \text{ дм}$

Итак, катеты треугольника равны $a = 3$ дм и $b = 4$ дм, гипотенуза $c = 5$ дм.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим значения:

$r = \frac{3 \text{ дм} + 4 \text{ дм} - 5 \text{ дм}}{2} = \frac{2 \text{ дм}}{2} = 1 \text{ дм}$

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$:

$L_{вп} = 2 \cdot \pi \cdot 1 \text{ дм} = 2\pi \text{ дм}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$:

$L_{вп} \approx 2 \cdot 3.14 \text{ дм} = 6.28 \text{ дм}$

Ответ: $6.28 \text{ дм}$

б)

Дано

Прямоугольный треугольник.

Периметр $P = 28$ см.

Площадь $S = 48$ см$^2$.

Перевод в систему СИ:

$P = 28 \text{ см} = 0.28 \text{ м}$

$S = 48 \text{ см}^2 = 0.0048 \text{ м}^2$

Найти:

Длина окружности, описанной около треугольника, $L_{оп}$

Решение

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$.

Периметр $P = a + b + c = 28$ см.

Площадь $S = \frac{1}{2}ab = 48$ см$^2$.

Из формулы площади найдем произведение катетов: $ab = 2 \cdot 48 = 96$ см$^2$.

Для прямоугольного треугольника радиус $R$ описанной окружности равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2}$

Длина описанной окружности $L_{оп}$ вычисляется по формуле $L_{оп} = 2\pi R$:

$L_{оп} = 2\pi \left(\frac{c}{2}\right) = \pi c$

Таким образом, чтобы найти длину описанной окружности, нам нужно найти длину гипотенузы $c$.

Используем теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Возведем в квадрат выражение для суммы катетов из периметра:

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

Подставим $a^2 + b^2 = c^2$:

$(a + b)^2 = c^2 + 2ab$

Из формулы периметра $a+b = P-c = 28-c$.

Подставим известные значения $a+b$ и $ab$:

$(28 - c)^2 = c^2 + 2 \cdot 96$

$(28 - c)^2 = c^2 + 192$

Раскроем скобки в левой части:

$28^2 - 2 \cdot 28 \cdot c + c^2 = c^2 + 192$

$784 - 56c + c^2 = c^2 + 192$

Вычтем $c^2$ из обеих частей уравнения:

$784 - 56c = 192$

Перенесем слагаемые:

$56c = 784 - 192$

$56c = 592$

$c = \frac{592}{56}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:

$c = \frac{592 \div 8}{56 \div 8} = \frac{74}{7} \text{ см}$

Теперь найдем длину описанной окружности:

$L_{оп} = \pi c = \pi \cdot \frac{74}{7} \text{ см}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:

$L_{оп} \approx 3.14159 \cdot \frac{74}{7} \approx 3.14159 \cdot 10.571428 \approx 33.200 \text{ см}$

При округлении до одного знака после запятой:

$L_{оп} \approx 33.2 \text{ см}$

Ответ: $33.2 \text{ см}$