Номер 37, страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

37. a) Длины диагоналей параллелограмма равны 13 см и 19 см, а длина меньшей его стороны равна 11 см. Найдите длину большей стороны параллелограмма.

б) Длины сторон треугольника равны 11 см, 13 см и 16 см. Найдите длину медианы, проведенной к меньшей стороне.

(а) 12 см; б) 13,5 см)

a)

Дано:

длины диагоналей параллелограмма: $d_1 = 13 \text{ см}$, $d_2 = 19 \text{ см}$

длина меньшей стороны: $a = 11 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$d_1 = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

$d_2 = 19 \text{ см} = 0.19 \text{ м}$

$a = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$

Найти:

длину большей стороны $b$

Решение:

Для параллелограмма справедливо соотношение между длинами сторон $a, b$ и длинами диагоналей $d_1, d_2$. Эта теорема утверждает, что сумма квадратов длин диагоналей равна удвоенной сумме квадратов длин его сторон:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Поскольку все исходные данные и требуемый ответ представлены в сантиметрах, расчеты удобно провести в этой единице измерения.

Подставим известные значения в формулу:

$13^2 + 19^2 = 2(11^2 + b^2)$

Вычислим квадраты диагоналей и меньшей стороны:

$169 + 361 = 2(121 + b^2)$

Выполним сложение в левой части уравнения:

$530 = 2(121 + b^2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{530}{2} = 121 + b^2$

$265 = 121 + b^2$

Вычтем 121 из обеих частей уравнения, чтобы найти $b^2$:

$b^2 = 265 - 121$

$b^2 = 144$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $b$:

$b = \sqrt{144}$

$b = 12 \text{ см}$

Ответ: $12 \text{ см}$

б)

Дано:

длины сторон треугольника: $a = 11 \text{ см}$, $b = 13 \text{ см}$, $c = 16 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$

$b = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

$c = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

длину медианы $m_a$, проведенной к меньшей стороне

Решение:

Меньшая сторона треугольника имеет длину $11 \text{ см}$. Обозначим эту сторону как $a$, а две другие стороны как $b$ и $c$. Таким образом, $a = 11 \text{ см}$, $b = 13 \text{ см}$, $c = 16 \text{ см}$.

Длина медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$ (меньшей стороне), вычисляется по формуле медианы:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Поскольку все исходные данные и требуемый ответ представлены в сантиметрах, расчеты удобно провести в этой единице измерения.

Подставим известные значения в формулу:

$m_a^2 = \frac{2(13^2) + 2(16^2) - 11^2}{4}$

Вычислим квадраты длин сторон:

$13^2 = 169$

$16^2 = 256$

$11^2 = 121$

Подставим эти значения обратно в формулу:

$m_a^2 = \frac{2(169) + 2(256) - 121}{4}$

Выполним умножение:

$m_a^2 = \frac{338 + 512 - 121}{4}$

Выполним сложение и вычитание в числителе:

$m_a^2 = \frac{850 - 121}{4}$

$m_a^2 = \frac{729}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $m_a$:

$m_a = \sqrt{\frac{729}{4}}$

$m_a = \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{4}}$

Так как $\sqrt{729} = 27$ и $\sqrt{4} = 2$:

$m_a = \frac{27}{2}$

$m_a = 13.5 \text{ см}$

Ответ: $13.5 \text{ см}$