Номер 34, страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

34. Найдите периметр треугольника ABC, если AB = 5 м, AC = 9 м, $sin A = 0.8$.

(($14 + 2\sqrt{13}$) м или $(14 + 4\sqrt{10})$ м)

Дано:

Треугольник $ABC$

$AB = 5$ м

$AC = 9$ м

$\sin A = 0.8$

Перевод в систему СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Периметр $P_{ABC}$

Решение:

Периметр треугольника $ABC$ находится как сумма длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + AC + BC$.

Нам известны длины сторон $AB$ и $AC$, но не известна длина стороны $BC$. Чтобы найти $BC$, мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$.

Для применения теоремы косинусов нам необходимо найти значение $\cos A$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ выразим $\cos A$:

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

$\cos A = \pm\sqrt{1 - \sin^2 A}$

Подставим известное значение $\sin A = 0.8$:

$\cos A = \pm\sqrt{1 - (0.8)^2}$

$\cos A = \pm\sqrt{1 - 0.64}$

$\cos A = \pm\sqrt{0.36}$

$\cos A = \pm 0.6$

Поскольку косинус угла может быть как положительным (для острого угла), так и отрицательным (для тупого угла), рассмотрим два возможных случая для угла $A$.

Случай 1: Угол $A$ острый ($\cos A = 0.6$)

Применяем теорему косинусов для нахождения стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 0.6$

$BC^2 = 25 + 81 - 90 \cdot 0.6$

$BC^2 = 106 - 54$

$BC^2 = 52$

$BC = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ м

Теперь найдем периметр $P_1$:

$P_1 = AB + AC + BC = 5 + 9 + 2\sqrt{13} = (14 + 2\sqrt{13})$ м

Случай 2: Угол $A$ тупой ($\cos A = -0.6$)

Применяем теорему косинусов для нахождения стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot (-0.6)$

$BC^2 = 25 + 81 + 90 \cdot 0.6$

$BC^2 = 106 + 54$

$BC^2 = 160$

$BC = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ м

Теперь найдем периметр $P_2$:

$P_2 = AB + AC + BC = 5 + 9 + 4\sqrt{10} = (14 + 4\sqrt{10})$ м

Ответ:

Периметр треугольника $ABC$ может быть $(14 + 2\sqrt{13})$ м или $(14 + 4\sqrt{10})$ м.