Номер 33, страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Около треугольника $ABC$ описана окружность радиусом 8 см. Найдите длину стороны $AB$, если известно, что длина стороны $BC$ равна 12 см, а высота треугольника, проведенная к стороне $AC$, равна 5 см. $(\frac{20}{3} \text{ см})$

Дано

Радиус описанной окружности около треугольника $ABC$: $R = 8$ см

Длина стороны $BC$: $a = 12$ см

Высота треугольника, проведенная к стороне $AC$ (обозначим ее как $h_{AC}$): $h_{AC} = 5$ см

Перевод в систему СИ:

$R = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$h_{AC} = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Длину стороны $AB$ (обозначим ее как $c$).

Решение

Площадь треугольника $ABC$ может быть выражена двумя способами.

1. Через сторону и проведенную к ней высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_{AC}$.

2. Через стороны треугольника и радиус описанной окружности: $S = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4R}$.

Обозначим стороны треугольника: $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$.

Тогда формулы для площади примут вид:

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{AC}$

$S = \frac{c \cdot a \cdot b}{4R}$

Приравниваем эти два выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{AC} = \frac{c \cdot a \cdot b}{4R}$

Мы можем сократить $b$ из обеих частей уравнения, так как длина стороны треугольника не равна нулю ($b \neq 0$):

$\frac{1}{2} \cdot h_{AC} = \frac{c \cdot a}{4R}$

Теперь выразим искомую сторону $c$ (то есть $AB$):

$c = \frac{h_{AC} \cdot 4R}{2a} = \frac{2R \cdot h_{AC}}{a}$

Подставим известные значения:

$R = 8$ см, $h_{AC} = 5$ см, $a = 12$ см.

$c = \frac{2 \cdot 8 \text{ см} \cdot 5 \text{ см}}{12 \text{ см}}$

$c = \frac{16 \cdot 5}{12} \text{ см}$

$c = \frac{80}{12} \text{ см}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$c = \frac{80 \div 4}{12 \div 4} \text{ см}$

$c = \frac{20}{3} \text{ см}$

Ответ:

Длина стороны $AB$ равна $\frac{20}{3}$ см.