Номер 32, страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

32. В окружность вписан треугольник, одна из сторон которого равна 6 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой стороны, если угол треугольника, лежащий против нее, равен $60^\circ$.

$(\sqrt{3} \text{ см})$

Дано:

Сторона треугольника $a = 6$ см.

Угол треугольника, лежащий напротив этой стороны, $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ = \pi/3 \text{ радиан}$

Найти:

Расстояние $h$ от центра окружности до данной стороны.

Решение:

Пусть $R$ — радиус описанной вокруг треугольника окружности. Согласно теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Выразим радиус $R$:

$R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

Подставим известные значения $a = 6$ см и $\alpha = 60^\circ$:

$R = \frac{6}{2 \sin 60^\circ}$

Так как $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$R = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим расстояние от центра окружности до стороны $a$. Пусть $O$ — центр окружности, $AB$ — сторона треугольника длиной $a$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда отрезок $OM$ перпендикулярен стороне $AB$ и является искомым расстоянием $h$.

Треугольник $AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (радиусы окружности). Высота $OM$ в равнобедренном треугольнике $AOB$ также является медианой и биссектрисой угла $\angle AOB$.

Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на дугу $AB$, вдвое больше вписанного угла $\angle ACB = \alpha$, опирающегося на ту же дугу:

$\angle AOB = 2\alpha = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $OMA$ (где $M$ — середина $AB$), угол $\angle AOM$ равен половине центрального угла $\angle AOB$:

$\angle AOM = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Также можно заметить, что $\angle AOM = \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $OMA$ гипотенуза $OA = R$, а катет $OM = h$. Катет $OM$ является прилежащим к углу $\angle AOM$. Следовательно:

$h = OM = OA \cdot \cos(\angle AOM) = R \cdot \cos(\alpha)$

Подставим значение $R = 2\sqrt{3}$ см и $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:

$h = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.