Номер 36, страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

35. Найдите площадь треугольника, длины сторон которого 12 мм, 16 мм и 21 мм. $(\approx 95,4 \text{ мм}^2)$

36. В подшипнике находится 18 стальных шариков (они лежат вплотную друг к другу). Найдите радиус $r$ шарика, если радиус внешнего круга катания $(OB+r)$ равен 60 мм (рисунок 4). Рисунок 4 $(\approx 9 \text{ мм})$

35. Найдите площадь треугольника, длины сторон которого 12 мм, 16 мм и 21 мм.

Дано:

Стороны треугольника:

• $a = 12 \, \text{мм}$

• $b = 16 \, \text{мм}$

• $c = 21 \, \text{мм}$

Перевод в СИ:

• $a = 0.012 \, \text{м}$

• $b = 0.016 \, \text{м}$

• $c = 0.021 \, \text{м}$

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используем формулу Герона.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a + b + c}{2}$

$p = \frac{12 \, \text{мм} + 16 \, \text{мм} + 21 \, \text{мм}}{2} = \frac{49 \, \text{мм}}{2} = 24.5 \, \text{мм}$

Теперь применим формулу Герона для площади $S$:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

$S = \sqrt{24.5(24.5 - 12)(24.5 - 16)(24.5 - 21)}$

$S = \sqrt{24.5 \times 12.5 \times 8.5 \times 3.5}$

$S = \sqrt{9114.0625}$

$S \approx 95.4676 \, \text{мм}^2$

Округляем до двух знаков после запятой, получаем $S \approx 95.47 \, \text{мм}^2$. Отметим, что указанная в условии примерная величина $95.4 \, \text{мм}^2$ может быть результатом округления до одного знака после запятой с меньшей точностью.

Ответ: $S \approx 95.47 \, \text{мм}^2$

36. В подшипнике находится 18 стальных шариков (они лежат вплотную друг к другу). Найдите радиус $r$ шарика, если радиус внешнего круга катания ($OB+r$) равен 60 мм (рисунок 4).

Дано:

Количество стальных шариков $N = 18$.

Радиус внешнего круга катания $R_{outer} = OB + r = 60 \, \text{мм}$.

Перевод в СИ:

• $N = 18$

• $R_{outer} = 60 \, \text{мм} = 0.060 \, \text{м}$

Найти:

Радиус шарика $r$.

Решение:

Так как шарики лежат вплотную друг к другу, их центры образуют правильный $N$-угольник с центром в точке $O$ (центре подшипника).

Угол $\alpha$, который приходится на один шарик (угол между линиями, проведенными от центра $O$ к центрам двух соседних шариков), равен:

$\alpha = \frac{360^\circ}{N} = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный центром подшипника $O$ и центрами двух соседних шариков, например $A$ и $B$. Расстояние $OA = OB$ - это радиус окружности, проходящей через центры шариков.

Из условия задачи $OB + r = 60 \, \text{мм}$, следовательно, $OA = OB = 60 - r$.

Отрезок $AB$ соединяет центры двух соседних шариков, которые касаются друг друга, поэтому $AB = 2r$.

Проведем высоту из центра $O$ к отрезку $AB$, назовем точку пересечения $C$. Треугольник $OAC$ является прямоугольным.

Угол $\angle AOC$ равен половине угла $\alpha$:

$\angle AOC = \frac{\alpha}{2} = \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ$

Длина катета $AC$ в прямоугольном треугольнике $OAC$ равна половине отрезка $AB$, то есть $AC = r$.

Гипотенуза $OA = 60 - r$.

Используем тригонометрическое соотношение для синуса угла:

$\sin(\angle AOC) = \frac{AC}{OA}$

$\sin(10^\circ) = \frac{r}{60 - r}$

Теперь решим уравнение относительно $r$:

$r = (60 - r) \sin(10^\circ)$

$r = 60 \sin(10^\circ) - r \sin(10^\circ)$

$r + r \sin(10^\circ) = 60 \sin(10^\circ)$

$r(1 + \sin(10^\circ)) = 60 \sin(10^\circ)$

$r = \frac{60 \sin(10^\circ)}{1 + \sin(10^\circ)}$

Используя значение $\sin(10^\circ) \approx 0.173648$, получаем:

$r \approx \frac{60 \times 0.173648}{1 + 0.173648} = \frac{10.41888}{1.173648}$

$r \approx 8.8778 \, \text{мм}$

Округляем до двух знаков после запятой, получаем $r \approx 8.88 \, \text{мм}$. Если округлять до ближайшего целого значения, как в подсказке, то $r \approx 9 \, \text{мм}$.

Ответ: $r \approx 8.88 \, \text{мм}$