Номер 41, страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

41. Две точки окружности делят ее на две дуги, разность градусных мер которых равна $50^\circ$. Вычислите длины этих дуг, если радиус окружности равен 8 см.

(≈ 21,6 см, ≈ 28,6 см)

Дано

Разность градусных мер дуг: $\Delta \alpha = 50^\circ$

Радиус окружности: $R = 8 \text{ см}$

Найти:

Длины дуг: $L_1$, $L_2$

Решение

Пусть $\alpha_1$ и $\alpha_2$ - градусные меры двух дуг, на которые окружность делится двумя точками. Сумма градусных мер этих дуг равна $360^\circ$, так как они образуют полную окружность. Также нам известно, что разность их градусных мер равна $50^\circ$. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \alpha_1 + \alpha_2 = 360^\circ \\ \alpha_1 - \alpha_2 = 50^\circ \end{cases}$

Сложим оба уравнения:

$(\alpha_1 + \alpha_2) + (\alpha_1 - \alpha_2) = 360^\circ + 50^\circ$

$2\alpha_1 = 410^\circ$

$\alpha_1 = \frac{410^\circ}{2} = 205^\circ$

Подставим значение $\alpha_1$ в первое уравнение:

$205^\circ + \alpha_2 = 360^\circ$

$\alpha_2 = 360^\circ - 205^\circ = 155^\circ$

Теперь, когда у нас есть градусные меры дуг, переведем их в радианы, используя формулу $\text{радианы} = \text{градусы} \times \frac{\pi}{180^\circ}$:

$\alpha_{1, \text{рад}} = 205^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{205\pi}{180} = \frac{41\pi}{36}$ радиан

$\alpha_{2, \text{рад}} = 155^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{155\pi}{180} = \frac{31\pi}{36}$ радиан

Для вычисления длины дуги используем формулу $L = R \times \alpha_{\text{рад}}$, где $R$ - радиус окружности, а $\alpha_{\text{рад}}$ - угловая мера дуги в радианах:

$L_1 = R \times \alpha_{1, \text{рад}} = 8 \text{ см} \times \frac{41\pi}{36} = \frac{8 \times 41\pi}{36} = \frac{2 \times 41\pi}{9} = \frac{82\pi}{9} \text{ см}$

$L_2 = R \times \alpha_{2, \text{рад}} = 8 \text{ см} \times \frac{31\pi}{36} = \frac{8 \times 31\pi}{36} = \frac{2 \times 31\pi}{9} = \frac{62\pi}{9} \text{ см}$

Вычислим приблизительные значения, используя $\pi \approx 3.14159$:

$L_1 \approx \frac{82 \times 3.14159}{9} \approx \frac{257.61038}{9} \approx 28.62337 \text{ см} \approx 28.6 \text{ см}$

$L_2 \approx \frac{62 \times 3.14159}{9} \approx \frac{194.77858}{9} \approx 21.64206 \text{ см} \approx 21.6 \text{ см}$

Ответ:

Длины дуг приблизительно равны $21.6 \text{ см}$ и $28.6 \text{ см}$.