Номер 40, страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

40. (Занимательная задача). Предположим, что Земля обтянута по экватору обручем. Если длину этого обруча увеличить на 1 м, то образуется зазор.

а) Сможет ли кот пролезть через этот зазор?

б) Если подобным образом обтянуть футбольный мяч и длину обруча также увеличить на 1 м, то зазор будет больше для Земли или для мяча?

(б) Для Земли и для мяча ширина зазора равна $ \frac{1}{2\pi} $ м)

Дано:
Увеличение длины обруча $\Delta L = 1$ м.

Перевод в СИ:
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:
а) Сможет ли кот пролезть через зазор.
б) Будет ли зазор больше для Земли или для мяча.

Решение

а) Сможет ли кот пролезть через этот зазор?

Пусть $R_0$ – начальный радиус Земли, а $L_0$ – начальная длина обруча по экватору. Тогда $L_0 = 2 \pi R_0$. Длину обруча увеличивают на $\Delta L = 1$ м. Новая длина обруча $L_1 = L_0 + \Delta L$. Новый радиус обруча $R_1$ будет связан с $L_1$ формулой $L_1 = 2 \pi R_1$. Высота зазора $h$ – это разность между новым радиусом обруча и начальным радиусом Земли: $h = R_1 - R_0$.

Выразим $R_0$ и $R_1$ через длины: $R_0 = \frac{L_0}{2 \pi}$
$R_1 = \frac{L_1}{2 \pi} = \frac{L_0 + \Delta L}{2 \pi}$

Тогда высота зазора: $h = R_1 - R_0 = \frac{L_0 + \Delta L}{2 \pi} - \frac{L_0}{2 \pi} = \frac{\Delta L}{2 \pi}$

Подставим значение $\Delta L = 1$ м: $h = \frac{1}{2 \pi}$ м

Численное значение: $h \approx \frac{1}{2 \times 3.14159} \approx \frac{1}{6.28318} \approx 0.159$ м. Таким образом, высота зазора составит примерно 15.9 см. Этого вполне достаточно, чтобы кот смог пролезть, так как кошки способны протискиваться через очень узкие щели.

Ответ: Да, кот сможет пролезть через этот зазор.

б) Если подобным образом обтянуть футбольный мяч и длину обруча также увеличить на 1 м, то зазор будет больше для Земли или для мяча?

Как показано в пункте а), формула для высоты зазора $h = \frac{\Delta L}{2 \pi}$ не зависит от начального радиуса объекта (будь то Земля или футбольный мяч). Она зависит только от величины, на которую увеличили длину обруча ($\Delta L$), и от константы $\pi$.

Поскольку в обоих случаях ($\Delta L = 1$ м) величина увеличения длины обруча одинакова, то и высота зазора будет одинаковой как для Земли, так и для футбольного мяча.

Ответ: Зазор будет одинаковым как для Земли, так и для мяча.