Страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

38. Период обращения Земли вокруг Солнца примерно равен 365 суток. Расстояние от Земли до Солнца примерно равно 150 млн км. Найдите скорость (в км/с) вращения Земли вокруг Солнца.

($\approx$ 29,9 км/с)

Дано

период обращения Земли вокруг Солнца: $T = 365$ суток
расстояние от Земли до Солнца: $R = 150 \text{ млн км}$

Перевод в систему СИ

$T = 365 \text{ суток} \times 24 \frac{\text{часа}}{\text{сутки}} \times 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} \times 60 \frac{\text{секунд}}{\text{минута}} = 31536000 \text{ с}$
$R = 150 \text{ млн км} = 150 \times 10^6 \text{ км}$

Найти

скорость вращения Земли вокруг Солнца: $v \text{ (в км/с)}$

Решение

Предполагаем, что орбита Земли вокруг Солнца является круговой. В этом случае длина орбиты (окружности) $L$ может быть вычислена по формуле:
$L = 2\pi R$
Скорость $v$ определяется как отношение пройденного расстояния $L$ ко времени $T$, за которое это расстояние пройдено. Таким образом, формула для скорости:
$v = \frac{L}{T} = \frac{2\pi R}{T}$
Подставим данные значения в формулу:
$v = \frac{2 \times 3.14159265 \times 150 \times 10^6 \text{ км}}{31536000 \text{ с}}$
$v \approx \frac{942477796.0769}{31536000} \text{ км/с}$
$v \approx 29.886 \text{ км/с}$
Округляем результат до одного знака после запятой, как это обычно принято для подобных задач, и как указано в подсказке к ответу:
$v \approx 29.9 \text{ км/с}$

Ответ: 29.9 км/с

39. Спутник вращается вокруг Земли со скоростью 7,9 км/с. За какое время он совершит полный оборот вокруг Земли? (Радиус Земли ≈ 6370 км, высота орбиты ≈ 500 км).

(1,5 ч.)

Дано

Скорость спутника: $v = 7.9 \text{ км/с}$

Радиус Земли: $R_З = 6370 \text{ км}$

Высота орбиты: $h = 500 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$v = 7.9 \text{ км/с} = 7.9 \times 10^3 \text{ м/с}$

$R_З = 6370 \text{ км} = 6.37 \times 10^6 \text{ м}$

$h = 500 \text{ км} = 0.5 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Время полного оборота: $T$

Решение

Для того чтобы найти время полного оборота спутника вокруг Земли, нам сначала необходимо определить радиус его орбиты. Радиус орбиты спутника равен сумме радиуса Земли и высоты орбиты спутника над поверхностью Земли:

$R_{орб} = R_З + h$

Подставим известные значения в эту формулу:

$R_{орб} = 6.37 \times 10^6 \text{ м} + 0.5 \times 10^6 \text{ м} = (6.37 + 0.5) \times 10^6 \text{ м} = 6.87 \times 10^6 \text{ м}$

Далее, нам нужно найти длину окружности, по которой движется спутник. Эта длина представляет собой путь, который спутник проходит за один полный оборот. Длина окружности вычисляется по формуле:

$L = 2 \pi R_{орб}$

Известно, что время, затраченное на прохождение определенного расстояния с постоянной скоростью, можно найти по формуле:

$T = \frac{L}{v}$

Подставим выражение для длины окружности $L$ в формулу для времени $T$:

$T = \frac{2 \pi R_{орб}}{v}$

Теперь подставим числовые значения радиуса орбиты и скорости спутника:

$T = \frac{2 \times 3.14159 \times 6.87 \times 10^6 \text{ м}}{7.9 \times 10^3 \text{ м/с}}$

$T \approx \frac{43167106.8 \text{ м}}{7900 \text{ м/с}}$

$T \approx 5464.2 \text{ с}$

Переведем полученное время в более удобные единицы — минуты и часы:

$T \text{ (минуты)} = \frac{5464.2}{60} \approx 91.07 \text{ мин}$

$T \text{ (часы)} = \frac{91.07}{60} \approx 1.518 \text{ ч}$

Ответ:

Спутник совершит полный оборот вокруг Земли примерно за $5464.2$ секунды, или $91.07$ минуты, что составляет приблизительно $1.52$ часа.

40. (Занимательная задача). Предположим, что Земля обтянута по экватору обручем. Если длину этого обруча увеличить на 1 м, то образуется зазор.

а) Сможет ли кот пролезть через этот зазор?

б) Если подобным образом обтянуть футбольный мяч и длину обруча также увеличить на 1 м, то зазор будет больше для Земли или для мяча?

(б) Для Земли и для мяча ширина зазора равна $ \frac{1}{2\pi} $ м)

Дано:
Увеличение длины обруча $\Delta L = 1$ м.

Перевод в СИ:
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:
а) Сможет ли кот пролезть через зазор.
б) Будет ли зазор больше для Земли или для мяча.

Решение

а) Сможет ли кот пролезть через этот зазор?

Пусть $R_0$ – начальный радиус Земли, а $L_0$ – начальная длина обруча по экватору. Тогда $L_0 = 2 \pi R_0$. Длину обруча увеличивают на $\Delta L = 1$ м. Новая длина обруча $L_1 = L_0 + \Delta L$. Новый радиус обруча $R_1$ будет связан с $L_1$ формулой $L_1 = 2 \pi R_1$. Высота зазора $h$ – это разность между новым радиусом обруча и начальным радиусом Земли: $h = R_1 - R_0$.

Выразим $R_0$ и $R_1$ через длины: $R_0 = \frac{L_0}{2 \pi}$
$R_1 = \frac{L_1}{2 \pi} = \frac{L_0 + \Delta L}{2 \pi}$

Тогда высота зазора: $h = R_1 - R_0 = \frac{L_0 + \Delta L}{2 \pi} - \frac{L_0}{2 \pi} = \frac{\Delta L}{2 \pi}$

Подставим значение $\Delta L = 1$ м: $h = \frac{1}{2 \pi}$ м

Численное значение: $h \approx \frac{1}{2 \times 3.14159} \approx \frac{1}{6.28318} \approx 0.159$ м. Таким образом, высота зазора составит примерно 15.9 см. Этого вполне достаточно, чтобы кот смог пролезть, так как кошки способны протискиваться через очень узкие щели.

Ответ: Да, кот сможет пролезть через этот зазор.

б) Если подобным образом обтянуть футбольный мяч и длину обруча также увеличить на 1 м, то зазор будет больше для Земли или для мяча?

Как показано в пункте а), формула для высоты зазора $h = \frac{\Delta L}{2 \pi}$ не зависит от начального радиуса объекта (будь то Земля или футбольный мяч). Она зависит только от величины, на которую увеличили длину обруча ($\Delta L$), и от константы $\pi$.

Поскольку в обоих случаях ($\Delta L = 1$ м) величина увеличения длины обруча одинакова, то и высота зазора будет одинаковой как для Земли, так и для футбольного мяча.

Ответ: Зазор будет одинаковым как для Земли, так и для мяча.

41. Две точки окружности делят ее на две дуги, разность градусных мер которых равна $50^\circ$. Вычислите длины этих дуг, если радиус окружности равен 8 см.

(≈ 21,6 см, ≈ 28,6 см)

Дано

Разность градусных мер дуг: $\Delta \alpha = 50^\circ$

Радиус окружности: $R = 8 \text{ см}$

Найти:

Длины дуг: $L_1$, $L_2$

Решение

Пусть $\alpha_1$ и $\alpha_2$ - градусные меры двух дуг, на которые окружность делится двумя точками. Сумма градусных мер этих дуг равна $360^\circ$, так как они образуют полную окружность. Также нам известно, что разность их градусных мер равна $50^\circ$. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \alpha_1 + \alpha_2 = 360^\circ \\ \alpha_1 - \alpha_2 = 50^\circ \end{cases}$

Сложим оба уравнения:

$(\alpha_1 + \alpha_2) + (\alpha_1 - \alpha_2) = 360^\circ + 50^\circ$

$2\alpha_1 = 410^\circ$

$\alpha_1 = \frac{410^\circ}{2} = 205^\circ$

Подставим значение $\alpha_1$ в первое уравнение:

$205^\circ + \alpha_2 = 360^\circ$

$\alpha_2 = 360^\circ - 205^\circ = 155^\circ$

Теперь, когда у нас есть градусные меры дуг, переведем их в радианы, используя формулу $\text{радианы} = \text{градусы} \times \frac{\pi}{180^\circ}$:

$\alpha_{1, \text{рад}} = 205^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{205\pi}{180} = \frac{41\pi}{36}$ радиан

$\alpha_{2, \text{рад}} = 155^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{155\pi}{180} = \frac{31\pi}{36}$ радиан

Для вычисления длины дуги используем формулу $L = R \times \alpha_{\text{рад}}$, где $R$ - радиус окружности, а $\alpha_{\text{рад}}$ - угловая мера дуги в радианах:

$L_1 = R \times \alpha_{1, \text{рад}} = 8 \text{ см} \times \frac{41\pi}{36} = \frac{8 \times 41\pi}{36} = \frac{2 \times 41\pi}{9} = \frac{82\pi}{9} \text{ см}$

$L_2 = R \times \alpha_{2, \text{рад}} = 8 \text{ см} \times \frac{31\pi}{36} = \frac{8 \times 31\pi}{36} = \frac{2 \times 31\pi}{9} = \frac{62\pi}{9} \text{ см}$

Вычислим приблизительные значения, используя $\pi \approx 3.14159$:

$L_1 \approx \frac{82 \times 3.14159}{9} \approx \frac{257.61038}{9} \approx 28.62337 \text{ см} \approx 28.6 \text{ см}$

$L_2 \approx \frac{62 \times 3.14159}{9} \approx \frac{194.77858}{9} \approx 21.64206 \text{ см} \approx 21.6 \text{ см}$

Ответ:

Длины дуг приблизительно равны $21.6 \text{ см}$ и $28.6 \text{ см}$.

42. Радиус закругления полотна железной дороги равен 1 км, дуга закругления содержит $20^\circ$. Найдите длину этой дуги.

$(\approx 349 \text{ м})$

Дано:

Радиус закругления $R = 1 \text{ км}$

Угол дуги $\alpha = 20^\circ$

Перевод в СИ:

$R = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Для вычислений угол необходимо перевести в радианы:

$\alpha = 20^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{20\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{9} \text{ рад}$

Найти:

Длина дуги $L$

Решение:

Длина дуги окружности может быть найдена по формуле:

$L = R \cdot \alpha_{\text{рад}}$

где $R$ — радиус окружности, а $\alpha_{\text{рад}}$ — угол дуги в радианах.

Подставим известные значения в формулу:

$L = 1000 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{9} \text{ рад}$

$L = \frac{1000\pi}{9} \text{ м}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:

$L \approx \frac{1000 \cdot 3.14159}{9} \text{ м}$

$L \approx \frac{3141.59}{9} \text{ м}$

$L \approx 349.0655 \text{ м}$

Ответ:

Длина дуги приближенно равна $349 \text{ м}$.

43. a) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 дм, а проекция меньшего катета на гипотенузу равна 1,8 дм. Найдите длину окружности, вписанной в этот треугольник.

б) Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника, периметр которого равен 28 см, а площадь равна 48 см$^2$.

(a) $\approx$ 6,28 дм; б) $\approx$ 33,2 см)

a)

Дано

Прямоугольный треугольник.

Гипотенуза $c = 5$ дм.

Проекция меньшего катета на гипотенузу $a_c = 1.8$ дм.

Перевод в систему СИ:

$c = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

$a_c = 1.8 \text{ дм} = 0.18 \text{ м}$

Найти:

Длина окружности, вписанной в треугольник, $L_{вп}$

Решение

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$.

Пусть $a$ — меньший катет, тогда его проекция на гипотенузу равна $a_c$.

Из свойства прямоугольного треугольника квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:

$a^2 = c \cdot a_c$

Подставим известные значения:

$a^2 = 5 \text{ дм} \cdot 1.8 \text{ дм} = 9 \text{ дм}^2$

$a = \sqrt{9} = 3 \text{ дм}$

Теперь, используя теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, найдем второй катет $b$:

$3^2 + b^2 = 5^2$

$9 + b^2 = 25$

$b^2 = 25 - 9 = 16$

$b = \sqrt{16} = 4 \text{ дм}$

Итак, катеты треугольника равны $a = 3$ дм и $b = 4$ дм, гипотенуза $c = 5$ дм.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим значения:

$r = \frac{3 \text{ дм} + 4 \text{ дм} - 5 \text{ дм}}{2} = \frac{2 \text{ дм}}{2} = 1 \text{ дм}$

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$:

$L_{вп} = 2 \cdot \pi \cdot 1 \text{ дм} = 2\pi \text{ дм}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$:

$L_{вп} \approx 2 \cdot 3.14 \text{ дм} = 6.28 \text{ дм}$

Ответ: $6.28 \text{ дм}$

б)

Дано

Прямоугольный треугольник.

Периметр $P = 28$ см.

Площадь $S = 48$ см$^2$.

Перевод в систему СИ:

$P = 28 \text{ см} = 0.28 \text{ м}$

$S = 48 \text{ см}^2 = 0.0048 \text{ м}^2$

Найти:

Длина окружности, описанной около треугольника, $L_{оп}$

Решение

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$.

Периметр $P = a + b + c = 28$ см.

Площадь $S = \frac{1}{2}ab = 48$ см$^2$.

Из формулы площади найдем произведение катетов: $ab = 2 \cdot 48 = 96$ см$^2$.

Для прямоугольного треугольника радиус $R$ описанной окружности равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2}$

Длина описанной окружности $L_{оп}$ вычисляется по формуле $L_{оп} = 2\pi R$:

$L_{оп} = 2\pi \left(\frac{c}{2}\right) = \pi c$

Таким образом, чтобы найти длину описанной окружности, нам нужно найти длину гипотенузы $c$.

Используем теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Возведем в квадрат выражение для суммы катетов из периметра:

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

Подставим $a^2 + b^2 = c^2$:

$(a + b)^2 = c^2 + 2ab$

Из формулы периметра $a+b = P-c = 28-c$.

Подставим известные значения $a+b$ и $ab$:

$(28 - c)^2 = c^2 + 2 \cdot 96$

$(28 - c)^2 = c^2 + 192$

Раскроем скобки в левой части:

$28^2 - 2 \cdot 28 \cdot c + c^2 = c^2 + 192$

$784 - 56c + c^2 = c^2 + 192$

Вычтем $c^2$ из обеих частей уравнения:

$784 - 56c = 192$

Перенесем слагаемые:

$56c = 784 - 192$

$56c = 592$

$c = \frac{592}{56}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:

$c = \frac{592 \div 8}{56 \div 8} = \frac{74}{7} \text{ см}$

Теперь найдем длину описанной окружности:

$L_{оп} = \pi c = \pi \cdot \frac{74}{7} \text{ см}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:

$L_{оп} \approx 3.14159 \cdot \frac{74}{7} \approx 3.14159 \cdot 10.571428 \approx 33.200 \text{ см}$

При округлении до одного знака после запятой:

$L_{оп} \approx 33.2 \text{ см}$

Ответ: $33.2 \text{ см}$