Страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

1. Периметр равнобедренного треугольника равен 14 см, а одна из его сторон равна 3 см. Найдите длины остальных сторон треугольника.

(5,5 см, 5,5 см)

Дано

Периметр равнобедренного треугольника $P = 14 \text{ см}$.
Длина одной из сторон $s_1 = 3 \text{ см}$.

Перевод в СИ:
$P = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$
$s_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Длины двух других сторон треугольника.

Решение:

Равнобедренный треугольник имеет две стороны равной длины. Рассмотрим два возможных случая для заданной стороны (для удобства расчетов будем использовать сантиметры):

Случай 1: Заданная сторона (3 см) является основанием треугольника.
Пусть основание $c = 3 \text{ см}$. Тогда две другие стороны, $a$ и $b$, являются равными сторонами, то есть $a = b$.
Формула периметра треугольника: $P = a + b + c$.
Так как $a = b$, подставим $a$ вместо $b$: $P = a + a + c$, или $P = 2a + c$.
Подставляем известные значения периметра и основания: $14 = 2a + 3$
Вычтем 3 из обеих частей уравнения: $2a = 14 - 3$
$2a = 11$
Разделим обе части на 2: $a = \frac{11}{2} = 5.5 \text{ см}$.
Таким образом, стороны треугольника равны $5.5 \text{ см}$, $5.5 \text{ см}$ и $3 \text{ см}$.
Проверим условие существования треугольника (сумма двух любых сторон должна быть строго больше третьей стороны):
$5.5 + 5.5 > 3 \implies 11 > 3$ (Верно)
$5.5 + 3 > 5.5 \implies 8.5 > 5.5$ (Верно)
Этот случай возможен.

Случай 2: Заданная сторона (3 см) является одной из двух равных сторон.
Пусть одна из равных сторон $a = 3 \text{ см}$. Тогда вторая равная сторона $b = 3 \text{ см}$. Пусть основание треугольника равно $c$.
Формула периметра треугольника: $P = a + b + c$.
Подставляем известные значения периметра и равных сторон: $14 = 3 + 3 + c$
$14 = 6 + c$
Вычтем 6 из обеих частей уравнения: $c = 14 - 6 = 8 \text{ см}$.
Таким образом, стороны треугольника равны $3 \text{ см}$, $3 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$.
Проверим условие существования треугольника:
$3 + 3 > 8 \implies 6 > 8$ (Неверно)
Этот случай невозможен, так как сумма двух сторон ($3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$) не может быть меньше или равна третьей стороне ($8 \text{ см}$).

Следовательно, единственный возможный вариант - это когда две равные стороны треугольника имеют длину $5.5 \text{ см}$, а третья сторона (основание) - $3 \text{ см}$. Длины остальных сторон - это две равные стороны.

Ответ:

$5.5 \text{ см}$, $5.5 \text{ см}$.

2. Найдите наибольший угол треугольника, если известно, что

один из его углов равен разности двух других.

$90^\circ$

Дано: Пусть углы треугольника будут $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Известно, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Также известно, что один из углов равен разности двух других. Без потери общности, предположим, что $\alpha = \beta - \gamma$, где $\beta \ge \gamma$.

Найти: Наибольший угол треугольника.

Решение

У нас есть система из двух уравнений:

1. $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

2. $\alpha = \beta - \gamma$

Подставим выражение для $\alpha$ из второго уравнения в первое:

$(\beta - \gamma) + \beta + \gamma = 180^\circ$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\beta - \gamma + \beta + \gamma = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ$

Теперь найдем значение $\beta$:

$\beta = \frac{180^\circ}{2}$

$\beta = 90^\circ$

Таким образом, один из углов треугольника равен $90^\circ$. Это означает, что треугольник является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике сумма двух других углов (острых углов) равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Поскольку эти углы должны быть положительными, каждый из них должен быть строго меньше $90^\circ$. Например, если $\beta = 90^\circ$, то из второго уравнения $\alpha = 90^\circ - \gamma$. Поскольку $\alpha > 0$ и $\gamma > 0$, то $\gamma < 90^\circ$ и $\alpha < 90^\circ$.

Следовательно, наибольшим углом в таком треугольнике является прямой угол, то есть $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

3. Длины сторон параллелограмма равны 5 см и 12 см. На отрезки какой длины делит сторону параллелограмма биссектриса его тупого угла?

(5 см, 7 см)

Дано:

Параллелограмм ABCD.

Длины сторон: $a = 5 \text{ см}$, $b = 12 \text{ см}$.

Биссектриса тупого угла.

Перевод в СИ:

$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Длины отрезков, на которые биссектриса тупого угла делит сторону параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм ABCD со сторонами AB = CD = 5 см и BC = AD = 12 см.

Рассмотрим тупой угол A (или C, они равны, и биссектриса из них будет себя вести аналогично). Проведем биссектрису AK угла A, где точка K лежит на стороне BC.

Так как AD параллельна BC (противоположные стороны параллелограмма), и AK является секущей, то накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle AKB$ равны: $\angle DAK = \angle AKB$.

Поскольку AK - биссектриса угла DAB, то она делит угол пополам: $\angle DAK = \angle KAB$.

Из двух равенств получаем, что $\angle KAB = \angle AKB$.

В треугольнике $\triangle ABK$ углы при основании AK равны ($\angle KAB = \angle AKB$), следовательно, этот треугольник является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны.

Таким образом, $AB = BK$.

По условию, длина стороны $AB = 5 \text{ см}$. Значит, $BK = 5 \text{ см}$.

Биссектриса AK делит сторону BC на два отрезка: BK и KC.

Длина стороны $BC = 12 \text{ см}$.

Тогда длина отрезка $KC$ равна разности длин всей стороны $BC$ и отрезка $BK$: $KC = BC - BK = 12 \text{ см} - 5 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Таким образом, биссектриса делит сторону параллелограмма на отрезки длиной 5 см и 7 см.

Ответ:

5 см и 7 см.

4. Параллелограмм одной из его диагоналей делится на два треугольника, периметр каждого из которых равен 8 дм. Найдите длину этой диагонали, если периметр параллелограмма равен 10 дм.

(3 дм)

Дано:

Периметр каждого из двух треугольников, на которые делится параллелограмм диагональю: $P_{\text{тр}} = 8 \text{ дм}$

Периметр параллелограмма: $P_{\text{пар}} = 10 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

$P_{\text{тр}} = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

$P_{\text{пар}} = 10 \text{ дм} = 1.0 \text{ м}$

Найти:

Длину диагонали параллелограмма: $d$

Решение:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Диагональ $AC$ делит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Обозначим длину диагонали $AC = d$.

Периметр треугольника $\triangle ABC$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC$.

Периметр треугольника $\triangle ADC$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle ADC} = AD + DC + AC$.

По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны: $AB = DC$ и $BC = AD$.

Сложим периметры двух треугольников:

$P_{\triangle ABC} + P_{\triangle ADC} = (AB + BC + AC) + (AD + DC + AC)$

Заменим $AD$ на $BC$ и $DC$ на $AB$ в выражении для суммы периметров:

$P_{\triangle ABC} + P_{\triangle ADC} = (AB + BC + AC) + (BC + AB + AC)$

Сгруппируем члены:

$P_{\triangle ABC} + P_{\triangle ADC} = 2 \cdot AB + 2 \cdot BC + 2 \cdot AC$

Вынесем общий множитель 2:

$P_{\triangle ABC} + P_{\triangle ADC} = 2(AB + BC) + 2 \cdot AC$

Мы знаем, что периметр параллелограмма $P_{\text{пар}}$ равен удвоенной сумме длин двух смежных сторон: $P_{\text{пар}} = 2(AB + BC)$.

Таким образом, уравнение можно переписать как:

$P_{\triangle ABC} + P_{\triangle ADC} = P_{\text{пар}} + 2 \cdot AC$

По условию задачи, периметр каждого треугольника равен $8 \text{ дм}$, а периметр параллелограмма равен $10 \text{ дм}$. Подставим эти значения в уравнение:

$8 + 8 = 10 + 2 \cdot AC$

$16 = 10 + 2 \cdot AC$

Теперь решим уравнение относительно $AC$ (длины диагонали):

$2 \cdot AC = 16 - 10$

$2 \cdot AC = 6$

$AC = \frac{6}{2}$

$AC = 3 \text{ дм}$

Ответ: 3 дм

5. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведен серединный перпендикуляр к стороне $AB$, который пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Найдите угол $PAC$, если угол $BCA$ равен $70^\circ$.

($30^\circ$)

Дано:

• треугольник $ABC$ — равнобедренный;

• основание $AC$;

• серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$;

• угол $\angle BCA = 70^\circ$.

Перевод в СИ:

• угол $\angle BCA = 70^\circ$. Единицей измерения углов в системе СИ является радиан. Однако, в геометрических задачах общепринято использовать градусы для удобства вычислений. Поэтому все расчеты будут проводиться в градусах, без перевода в радианы.

Найти:

• угол $\angle PAC$.

Решение:

Нахождение углов треугольника ABC

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, это означает, что стороны $AB$ и $BC$ равны, а углы при основании равны. Таким образом, $\angle BAC = \angle BCA$.

Дано, что $\angle BCA = 70^\circ$. Следовательно, $\angle BAC = 70^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ имеем:
$\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$
$\angle ABC + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ$
$\angle ABC + 140^\circ = 180^\circ$
$\angle ABC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Ответ: $\angle ABC = 40^\circ$, $\angle BAC = 70^\circ$, $\angle BCA = 70^\circ$.

Использование свойства серединного перпендикуляра

Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка. По условию задачи, серединный перпендикуляр к стороне $AB$ проходит через точку $P$. Следовательно, точка $P$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Таким образом, $PA = PB$.

Ответ: $PA = PB$.

Нахождение углов треугольника PAB

Поскольку $PA = PB$, треугольник $PAB$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle PAB = \angle PBA$.

Угол $\angle PBA$ является тем же самым углом, что и $\angle CBA$ в треугольнике $ABC$. Ранее мы нашли, что $\angle CBA = \angle ABC = 40^\circ$. Следовательно, $\angle PAB = 40^\circ$.

Ответ: $\angle PAB = 40^\circ$.

Вычисление угла PAC

Угол $\angle BAC$ состоит из двух углов: $\angle PAB$ и $\angle PAC$. То есть, мы можем записать: $\angle BAC = \angle PAB + \angle PAC$.

Мы знаем следующие значения:
$\angle BAC = 70^\circ$ (из пункта "Нахождение углов треугольника ABC")
$\angle PAB = 40^\circ$ (из пункта "Нахождение углов треугольника PAB")

Подставим известные значения в уравнение для нахождения $\angle PAC$:
$70^\circ = 40^\circ + \angle PAC$
$\angle PAC = 70^\circ - 40^\circ$
$\angle PAC = 30^\circ$.

Ответ: $\angle PAC = 30^\circ$.

6. Из вершины $A$ острого угла параллелограмма $ABCD$ проведены перпендикуляры $AF$ и $AN$ к прямым $BC$ и $CD$. Найдите углы параллелограмма, если угол $\angle FAN$ равен $130^\circ$.

($50^\circ$, $130^\circ$, $50^\circ$, $130^\circ$)

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм.
$AF \perp BC$ ($F$ лежит на прямой $BC$).
$AN \perp CD$ ($N$ лежит на прямой $CD$).
$\angle FAN = 130^\circ$.

Найти:

Углы параллелограмма $ABCD$: $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник $AFCN$. Вершины этого четырехугольника — $A, F, C, N$.

По условию, $AF \perp BC$. Так как $F$ лежит на прямой $BC$, то угол $\angle AFC$ является прямым. Следовательно, $\angle AFC = 90^\circ$.

Аналогично, по условию, $AN \perp CD$. Так как $N$ лежит на прямой $CD$, то угол $\angle ANC$ является прямым. Следовательно, $\angle ANC = 90^\circ$.

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $AFCN$ это означает: $\angle FAN + \angle ANC + \angle NCF + \angle CFA = 360^\circ$

Подставим известные значения углов: $130^\circ + 90^\circ + \angle NCF + 90^\circ = 360^\circ$

Сложим известные углы: $310^\circ + \angle NCF = 360^\circ$

Найдем угол $\angle NCF$: $\angle NCF = 360^\circ - 310^\circ$

$\angle NCF = 50^\circ$

Угол $\angle NCF$ является углом $\angle C$ параллелограмма $ABCD$. Таким образом, один из углов параллелограмма равен $\angle C = 50^\circ$.

В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, угол $\angle A$ равен углу $\angle C$: $\angle A = \angle C = 50^\circ$

Также в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. То есть, $\angle B + \angle C = 180^\circ$. $\angle B = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

Противоположный углу $\angle B$ является угол $\angle D$. Следовательно: $\angle D = \angle B = 130^\circ$

Итак, углы параллелограмма $ABCD$ равны $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$. Проверим сумму всех углов: $50^\circ + 130^\circ + 50^\circ + 130^\circ = 360^\circ$, что верно для любого четырехугольника.

Ответ: Углы параллелограмма равны $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.

7. Длины оснований трапеции равны 25 см и 4 см, а длины боковых сторон – 20 см и 13 см. Найдите площадь трапеции. (174 $см^2$)

Дано:

Длины оснований трапеции: $a = 25 \text{ см}$, $b = 4 \text{ см}$

Длины боковых сторон: $c = 20 \text{ см}$, $d = 13 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$c = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

$d = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S$

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, а $h$ - высота трапеции.

Для нахождения высоты $h$ проведем две высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Обозначим проекции боковых сторон $c$ и $d$ на большее основание как $x$ и $y$ соответственно.

В этом случае, сумма длин этих проекций равна разности длин оснований: $x+y = a-b$.

Из двух образовавшихся прямоугольных треугольников, используя теорему Пифагора, можно записать:

$h^2 + x^2 = c^2 \quad (1)$

$h^2 + y^2 = d^2 \quad (2)$

Из уравнения (1) выразим $h^2$: $h^2 = c^2 - x^2$.

Из уравнения (2) выразим $h^2$: $h^2 = d^2 - y^2$.

Приравняем эти выражения для $h^2$:

$c^2 - x^2 = d^2 - y^2$

Мы знаем, что $y = (a-b) - x$. Подставим это выражение в уравнение:

$c^2 - x^2 = d^2 - ((a-b) - x)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$c^2 - x^2 = d^2 - ((a-b)^2 - 2(a-b)x + x^2)$

$c^2 - x^2 = d^2 - (a-b)^2 + 2(a-b)x - x^2$

Сократим $-x^2$ с обеих сторон уравнения:

$c^2 = d^2 - (a-b)^2 + 2(a-b)x$

Выразим $x$:

$2(a-b)x = c^2 - d^2 + (a-b)^2$

$x = \frac{c^2 - d^2 + (a-b)^2}{2(a-b)}$

Подставим числовые значения: $a = 25 \text{ см}$, $b = 4 \text{ см}$, $c = 20 \text{ см}$, $d = 13 \text{ см}$.

Найдем разность оснований: $a-b = 25 \text{ см} - 4 \text{ см} = 21 \text{ см}$.

Теперь вычислим $x$:

$x = \frac{20^2 - 13^2 + 21^2}{2 \cdot 21}$

$x = \frac{400 - 169 + 441}{42}$

$x = \frac{231 + 441}{42}$

$x = \frac{672}{42}$

$x = 16 \text{ см}$

Теперь найдем высоту $h$, используя уравнение (1) ($h^2 = c^2 - x^2$):

$h^2 = 20^2 - 16^2$

$h^2 = 400 - 256$

$h^2 = 144$

$h = \sqrt{144}$

$h = 12 \text{ см}$

Теперь, когда известна высота, можно вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{25 \text{ см} + 4 \text{ см}}{2} \cdot 12 \text{ см}$

$S = \frac{29 \text{ см}}{2} \cdot 12 \text{ см}$

$S = 29 \cdot 6 \text{ см}^2$

$S = 174 \text{ см}^2$

В единицах СИ (метры):

$S = 174 \text{ см}^2 = 174 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 174 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0174 \text{ м}^2$

Ответ:

Площадь трапеции равна $174 \text{ см}^2$.