Страница 177 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

419.

а) Длина дуги радиусом 6 дм, содержащая центральный угол в $150^\circ$, равна длине некоторой окружности. Найдите радиус этой окружности.

б) Найдите с точностью до 0,1 см длину маятника настенных часов (рисунок 209), угол колебания которого составляет $36^\circ$, а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 16 см.

Рисунок 209

a)

Дано:
Радиус окружности, из которой взята дуга: $R_1 = 6$ дм
Центральный угол дуги: $\alpha = 150^\circ$
Длина этой дуги $L$ равна длине некоторой окружности $C_2$.

Перевод в СИ:
$R_1 = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$
$\alpha = 150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{5\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:
Радиус этой окружности $R_2$.

Решение:
Длина дуги $L$ вычисляется по формуле $L = \alpha R_1$, где $\alpha$ выражено в радианах.
$L = \frac{5\pi}{6} \cdot 0.6 \text{ м} = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{6}{10} \text{ м} = \frac{5\pi}{10} \text{ м} = \frac{\pi}{2} \text{ м}$.
Длина окружности $C_2$ вычисляется по формуле $C_2 = 2\pi R_2$.
По условию, длина дуги равна длине некоторой окружности, то есть $L = C_2$.
$\frac{\pi}{2} = 2\pi R_2$
Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{1}{2} = 2 R_2$
Отсюда $R_2 = \frac{1}{4} \text{ м} = 0.25 \text{ м}$.
Переведем в дециметры: $0.25 \text{ м} = 2.5 \text{ дм}$.

Ответ: $2.5 \text{ дм}$

б)

Дано:
Угол колебания маятника: $\beta = 36^\circ$
Длина дуги, описываемая концом маятника: $l = 16$ см

Перевод в СИ:
$\beta = 36^\circ = 36 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{5} \text{ рад}$
$l = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:
Длину маятника $R_m$ (с точностью до $0.1$ см).

Решение:
Длина дуги, описываемой концом маятника, вычисляется по формуле $l = \beta R_m$, где $\beta$ выражено в радианах, а $R_m$ — длина маятника (радиус).
Из этой формулы выразим длину маятника $R_m$:
$R_m = \frac{l}{\beta}$
Подставим известные значения:
$R_m = \frac{0.16 \text{ м}}{\frac{\pi}{5} \text{ рад}} = \frac{0.16 \cdot 5}{\pi} \text{ м} = \frac{0.8}{\pi} \text{ м}$.
Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3.14159$:
$R_m \approx \frac{0.8}{3.14159} \text{ м} \approx 0.254647 \text{ м}$.
Переведем в сантиметры:
$R_m \approx 0.254647 \cdot 100 \text{ см} \approx 25.4647 \text{ см}$.
Округлим до $0.1$ см:
$R_m \approx 25.5 \text{ см}$.

Ответ: $25.5 \text{ см}$

420. Дано: $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|=4$.

а) Постройте эти векторы.

б) Найдите $|\vec{a}-\vec{b}|$.

в) Чему равен угол между векторами $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$?

Дано:

$|\vec{a}| = 4$

$|\vec{b}| = 4$

$|\vec{a} + \vec{b}| = 4$

Перевод в СИ:

Не требуется, так как величины представлены в абстрактных единицах длины.

Найти:

а) Построить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

б) $|\vec{a} - \vec{b}|$

в) Угол между векторами $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$.

Решение:

Для начала найдем угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Воспользуемся формулой для модуля суммы векторов через скалярное произведение или через теорему косинусов:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\phi$, где $\phi$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Подставляем известные значения:

$4^2 = 4^2 + 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 4 \cos\phi$

$16 = 16 + 16 + 32 \cos\phi$

$16 = 32 + 32 \cos\phi$

$32 \cos\phi = 16 - 32$

$32 \cos\phi = -16$

$\cos\phi = \frac{-16}{32} = -\frac{1}{2}$

Следовательно, $\phi = 120^\circ$.

а) Постройте эти векторы.

Для построения этих векторов можно следовать следующим шагам:

1. Отметьте произвольную точку O (начало координат).

2. Отложите от точки O вектор $\vec{a}$ длиной 4 единицы в любом направлении.

3. От точки O отложите вектор $\vec{b}$ длиной 4 единицы таким образом, чтобы угол между вектором $\vec{a}$ и вектором $\vec{b}$ составлял $120^\circ$.

4. Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ будет являться диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, выходящей из общей начальной точки O. Поскольку $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$, то треугольник, образованный векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ (перенесенным к концу $\vec{a}$) и $\vec{a} + \vec{b}$, является равносторонним. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ образуют ромб, и $\vec{a} + \vec{b}$ является его большой диагональю. Угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ при этом $120^\circ$, а углы между $\vec{a}$ и $\vec{a}+\vec{b}$, а также между $\vec{b}$ и $\vec{a}+\vec{b}$ равны $60^\circ$. Таким образом, указанная выше конструкция будет верной.

Ответ: Построение описано выше.

б) Найдите $|\vec{a} - \vec{b}|$.

Воспользуемся формулой для модуля разности векторов через скалярное произведение или через теорему косинусов:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\phi$, где $\phi$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Подставляем известные значения $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 4$ и $\cos\phi = -\frac{1}{2}$:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 32 + 16$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 48$

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

Ответ: $|\vec{a} - \vec{b}| = 4\sqrt{3}$.

в) Чему равен угол между векторами $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$?

Обозначим $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b}$. Угол $\theta$ между этими векторами можно найти, используя формулу скалярного произведения:

$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

По свойству дистрибутивности скалярного произведения:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

Подставляем известные значения $|\vec{a}| = 4$ и $|\vec{b}| = 4$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4^2 - 4^2 = 16 - 16 = 0$

Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.В данном случае $|\vec{u}| = |\vec{a} + \vec{b}| = 4 \neq 0$ и $|\vec{v}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 4\sqrt{3} \neq 0$.

Следовательно, угол $\theta = 90^\circ$.

Это также подтверждается геометрическим свойством: диагонали ромба взаимно перпендикулярны, а векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ являются диагоналями ромба, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, так как $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Ответ: Угол между векторами $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ равен $90^\circ$.

421. Докажите, что точки $A(5; -1)$, $B(9; 5)$, $C(12; 6)$, $D(14; 2)$ являются вершинами трапеции. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Дано:

Вершины четырехугольника: $A(5; -1)$, $B(9; 5)$, $C(12; 6)$, $D(14; 2)$.

Найти:

Доказать, что точки $A$, $B$, $C$, $D$ являются вершинами трапеции.

Длину средней линии этой трапеции.

Решение:

Докажите, что точки A(5; -1), B(9; 5), C(12; 6), D(14; 2) являются вершинами трапеции.

Для того чтобы четырехугольник был трапецией, у него должна быть ровно одна пара параллельных сторон. Проверим параллельность сторон, вычислив их угловые коэффициенты.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, определяется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Вычислим угловые коэффициенты для всех сторон четырехугольника $ABCD$:

Угловой коэффициент стороны $AB$ (точки $A(5; -1)$ и $B(9; 5)$):

$k_{AB} = \frac{5 - (-1)}{9 - 5} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Угловой коэффициент стороны $BC$ (точки $B(9; 5)$ и $C(12; 6)$):

$k_{BC} = \frac{6 - 5}{12 - 9} = \frac{1}{3}$

Угловой коэффициент стороны $CD$ (точки $C(12; 6)$ и $D(14; 2)$):

$k_{CD} = \frac{2 - 6}{14 - 12} = \frac{-4}{2} = -2$

Угловой коэффициент стороны $DA$ (точки $D(14; 2)$ и $A(5; -1)$):

$k_{DA} = \frac{-1 - 2}{5 - 14} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$

Сравниваем угловые коэффициенты противоположных сторон:

Поскольку $k_{BC} = k_{DA} = \frac{1}{3}$, стороны $BC$ и $DA$ параллельны.

Поскольку $k_{AB} = \frac{3}{2}$ и $k_{CD} = -2$, стороны $AB$ и $CD$ не параллельны.

Так как четырехугольник $ABCD$ имеет одну пару параллельных сторон ($BC$ и $DA$) и одну пару непараллельных сторон ($AB$ и $CD$), он является трапецией.

Ответ: Доказано, что точки $A(5; -1)$, $B(9; 5)$, $C(12; 6)$, $D(14; 2)$ являются вершинами трапеции, так как стороны $BC$ и $DA$ параллельны ($k_{BC} = k_{DA} = \frac{1}{3}$), а стороны $AB$ и $CD$ не параллельны ($k_{AB} = \frac{3}{2}$, $k_{CD} = -2$).

Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме длин ее оснований. В данной трапеции основаниями являются параллельные стороны $BC$ и $DA$.

Длина отрезка между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ определяется по формуле: $L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Вычислим длины оснований:

Длина основания $BC$ (точки $B(9; 5)$ и $C(12; 6)$):

$BC = \sqrt{(12 - 9)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

Длина основания $DA$ (точки $D(14; 2)$ и $A(5; -1)$):

$DA = \sqrt{(5 - 14)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90}$

Упростим $\sqrt{90}$: $\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$.

Теперь найдем длину средней линии $m$ трапеции:

$m = \frac{BC + DA}{2} = \frac{\sqrt{10} + 3\sqrt{10}}{2} = \frac{4\sqrt{10}}{2} = 2\sqrt{10}$

Ответ: Длина средней линии этой трапеции равна $2\sqrt{10}$.

422. Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ - единичные, $\vec{i} \perp \vec{j}$. Найдите углы $\triangle ABC$, если $\vec{AB} = 6\vec{i} + 3\vec{j}$ и $\vec{AC} = 3\vec{i} + 9\vec{j}$.

Дано:

Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ являются единичными, то есть их модули равны 1: $|\vec{i}| = 1$ и $|\vec{j}| = 1$.

Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ перпендикулярны: $\vec{i} \perp \vec{j}$. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$.

Заданы векторы сторон треугольника ABC:

$\vec{AB} = 6\vec{i} + 3\vec{j}$

$\vec{AC} = 3\vec{i} + 9\vec{j}$

Перевод в СИ:

Не требуется, так как данные представлены в виде компонент векторов относительно ортонормированного базиса, не имеющих физических единиц измерения.

Найти:

Углы $\triangle ABC$: $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$.

Решение:

Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ образуют ортонормированный базис. Это позволяет нам работать с векторами как с парами координат:

$\vec{AB} = (6, 3)$

$\vec{AC} = (3, 9)$

Длина (модуль) вектора $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}$ вычисляется как $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j}$ и $\vec{b} = b_x\vec{i} + b_y\vec{j}$ вычисляется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

Рассчитаем длины данных векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$

Угол A:

Угол A треугольника образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (6)(3) + (3)(9) = 18 + 27 = 45$

Найдем косинус угла A:

$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{45}{(3\sqrt{5})(3\sqrt{10})} = \frac{45}{9\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $A = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Угол B:

Угол B треугольника образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$:

$\vec{BA} = -\vec{AB} = -6\vec{i} - 3\vec{j} = (-6, -3)$

Вектор $\vec{BC}$ найдем как разность векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ (конечный минус начальный):

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = (3\vec{i} + 9\vec{j}) - (6\vec{i} + 3\vec{j}) = (3-6)\vec{i} + (9-3)\vec{j} = -3\vec{i} + 6\vec{j} = (-3, 6)$

Длина вектора $\vec{BC}$:

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-6)(-3) + (-3)(6) = 18 - 18 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны.

Следовательно, $B = 90^\circ$.

Угол C:

Угол C треугольника образован векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$:

$\vec{CA} = -\vec{AC} = -3\vec{i} - 9\vec{j} = (-3, -9)$

Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$:

$\vec{CB} = -\vec{BC} = -(-3\vec{i} + 6\vec{j}) = 3\vec{i} - 6\vec{j} = (3, -6)$

Длины векторов $|\vec{CA}|$ и $|\vec{CB}|$ равны длинам $|\vec{AC}|$ и $|\vec{BC}|$ соответственно:

$|\vec{CA}| = |\vec{AC}| = 3\sqrt{10}$

$|\vec{CB}| = |\vec{BC}| = 3\sqrt{5}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-3)(3) + (-9)(-6) = -9 + 54 = 45$

Найдем косинус угла C:

$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| |\vec{CB}|} = \frac{45}{(3\sqrt{10})(3\sqrt{5})} = \frac{45}{9\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $C = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Проверим сумму углов треугольника: $A + B + C = 45^\circ + 90^\circ + 45^\circ = 180^\circ$. Сумма углов равна $180^\circ$, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ:

Углы $\triangle ABC$ равны $A = 45^\circ$, $B = 90^\circ$, $C = 45^\circ$.

423. В четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $AO = OC = 4$, $BO = 2$, $DO = 8$, $\angle BOC = 60^\circ$. Найдите косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

Дано

• Четырехугольник $ABCD$
• Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$
• $AO = 4$
• $OC = 4$
• $BO = 2$
• $DO = 8$
• $\angle BOC = 60^\circ$

Единицы измерения соответствуют условию задачи.

Найти:

• Косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ ($\cos(\angle (\vec{AB}, \vec{DC}))$)

Решение

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используется формула:$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Введем систему координат с началом в точке $O$. Пусть $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ будут базисными векторами (не ортогональными).

Из условия $AO = OC = 4$ и того, что $O$ является точкой пересечения диагоналей, следует, что векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ направлены противоположно. То есть $\vec{OC} = -\vec{OA}$.

Из условия $BO = 2$ и $DO = 8$ и того, что $O$ является точкой пересечения диагоналей, следует, что векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ направлены противоположно. При этом длина вектора $\vec{OD}$ в $DO/BO = 8/2 = 4$ раза больше длины вектора $\vec{OB}$. То есть $\vec{OD} = -4\vec{OB}$.

Обозначим $\vec{OA} = \vec{u}$ и $\vec{OB} = \vec{v}$.

Тогда:

• $|\vec{u}| = AO = 4$
• $|\vec{v}| = BO = 2$
• $\vec{OC} = -\vec{u}$
• $\vec{OD} = -4\vec{v}$

Найдем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ через векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

• $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{v} - \vec{u}$
• $\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD} = (-\vec{u}) - (-4\vec{v}) = 4\vec{v} - \vec{u}$

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{DC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = (\vec{v} - \vec{u}) \cdot (4\vec{v} - \vec{u})$$= 4(\vec{v} \cdot \vec{v}) - \vec{v} \cdot \vec{u} - 4(\vec{u} \cdot \vec{v}) + (\vec{u} \cdot \vec{u})$$= 4|\vec{v}|^2 - 5(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{u}|^2$

Для вычисления скалярного произведения $\vec{u} \cdot \vec{v}$, нам нужен угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, то есть $\angle AOB$.Угол $\angle BOC = 60^\circ$. Поскольку точки $A, O, C$ лежат на одной прямой, угол $\angle AOB$ и $\angle BOC$ являются смежными.

Следовательно, $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь вычислим $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\angle AOB) = 4 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ) = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -4$

Подставим значения $|\vec{u}|$, $|\vec{v}|$ и $\vec{u} \cdot \vec{v}$ в формулу для скалярного произведения $\vec{AB} \cdot \vec{DC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 4(2^2) - 5(-4) + 4^2 = 4(4) + 20 + 16 = 16 + 20 + 16 = 52$

Теперь найдем длины векторов $|\vec{AB}|$ и $|\vec{DC}|$:

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{v} - \vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{u}|^2$$= 2^2 - 2(-4) + 4^2 = 4 + 8 + 16 = 28$$|\vec{AB}| = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$|\vec{DC}|^2 = |4\vec{v} - \vec{u}|^2 = (4\vec{v})^2 - 2(4\vec{v} \cdot \vec{u}) + |\vec{u}|^2$$= 16|\vec{v}|^2 - 8(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{u}|^2$$= 16(2^2) - 8(-4) + 4^2 = 16(4) + 32 + 16 = 64 + 32 + 16 = 112$$|\vec{DC}| = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$

Наконец, вычислим косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:

$\cos(\angle (\vec{AB}, \vec{DC})) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{DC}}{|\vec{AB}| |\vec{DC}|} = \frac{52}{(2\sqrt{7})(4\sqrt{7})}$$= \frac{52}{8 \cdot (\sqrt{7})^2} = \frac{52}{8 \cdot 7} = \frac{52}{56}$

Сократим дробь $\frac{52}{56}$ на 4:

$\frac{52 \div 4}{56 \div 4} = \frac{13}{14}$

Ответ: $\frac{13}{14}$

424. При повороте около точки $M(2\sqrt{5}; 1)$ на $30^\circ$ против часовой стрелки точка $A(3\sqrt{5}; 1)$ отобразилась на точку $B$. Найдите расстояние $AB$.

Дано:

центр поворота $M(x_M, y_M) = (2\sqrt{5}; 1)$

исходная точка $A(x_A, y_A) = (3\sqrt{5}; 1)$

угол поворота $\alpha = 30^\circ$ (против часовой стрелки)

точка $A$ отобразилась в точку $B$

Перевод в СИ:

Перевод в систему СИ не требуется, так как координаты даны в безразмерных единицах, а угол в градусах.

Найти:

расстояние $AB$

Решение:

При повороте вокруг точки $M$, расстояние от центра поворота до исходной точки равно расстоянию от центра поворота до отображенной точки. То есть, $MA = MB$.

Найдем расстояние $MA$ по формуле расстояния между двумя точками:

$MA = \sqrt{(x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2}$

$MA = \sqrt{(3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})^2 + (1 - 1)^2}$

$MA = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 0^2}$

$MA = \sqrt{5}$

Таким образом, $MB = MA = \sqrt{5}$.

Точки $A$, $M$ и $B$ образуют треугольник $AMB$. В этом треугольнике $MA = MB = \sqrt{5}$. Угол между отрезками $MA$ и $MB$ равен углу поворота, то есть $\angle AMB = 30^\circ$.

Треугольник $AMB$ является равнобедренным. Для нахождения длины стороны $AB$ воспользуемся теоремой косинусов:

$AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos(\angle AMB)$

$AB^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot (\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5}) \cdot \cos(30^\circ)$

$AB^2 = 5 + 5 - 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AB^2 = 10 - 5\sqrt{3}$

$AB = \sqrt{10 - 5\sqrt{3}}$

Ответ:

$AB = \sqrt{10 - 5\sqrt{3}}$

425. Длина тени от дерева равна 24 м. Вертикальный столб высотой 1,5 м отбрасывает в этот момент времени тень длиной 1,6 м. Найдите высоту дерева.

Дано:

длина тени от дерева: $L_{дерева} = 24 \text{ м}$
высота столба: $h_{столба} = 1.5 \text{ м}$
длина тени от столба: $L_{столба} = 1.6 \text{ м}$

Перевод в СИ:
Все величины даны в метрах, что соответствует системе СИ.

Найти:

высота дерева: $h_{дерева} - ?$

Решение:

В один и тот же момент времени угол падения солнечных лучей на землю одинаков для всех объектов, находящихся в одном месте. Это означает, что дерево и столб образуют с их тенями подобные прямоугольные треугольники. Следовательно, отношение высоты объекта к длине его тени будет одинаковым: $\frac{h_{дерева}}{L_{дерева}} = \frac{h_{столба}}{L_{столба}}$
Выразим из этого соотношения высоту дерева $h_{дерева}$: $h_{дерева} = \frac{h_{столба} \cdot L_{дерева}}{L_{столба}}$
Подставим известные значения:
$h_{дерева} = \frac{1.5 \text{ м} \cdot 24 \text{ м}}{1.6 \text{ м}}$
$h_{дерева} = \frac{36}{1.6} \text{ м}$
$h_{дерева} = 22.5 \text{ м}$

Ответ: 22.5 м

426. Известно, что стороны треугольника пропорциональны числам 5, 6 и 8. Найдите стороны подобного ему треугольника, если разность между его наибольшей и наименьшей сторонами равна 9 мм.

Дано:

Стороны треугольника пропорциональны числам 5, 6, 8. Пусть стороны подобного треугольника $a$, $b$, $c$ пропорциональны этим числам.

Разность между его наибольшей и наименьшей сторонами: $c - a = 9$ мм.

Перевод в СИ:

Разность сторон: $9 \text{ мм} = 0.009 \text{ м}$.

Найти:

Стороны подобного треугольника: $a$, $b$, $c$.

Решение:

Пусть стороны подобного треугольника равны $5k$, $6k$ и $8k$, где $k$ – коэффициент пропорциональности.

Наибольшая сторона равна $8k$, а наименьшая сторона равна $5k$.

По условию, разность между наибольшей и наименьшей сторонами равна $0.009$ м.

Составляем уравнение:

$8k - 5k = 0.009$

$3k = 0.009$

Найдем значение $k$:

$k = \frac{0.009}{3}$

$k = 0.003$ м.

Теперь найдем длины сторон треугольника, подставив значение $k$:

Наименьшая сторона $a = 5k = 5 \times 0.003 \text{ м} = 0.015 \text{ м}$.

Средняя сторона $b = 6k = 6 \times 0.003 \text{ м} = 0.018 \text{ м}$.

Наибольшая сторона $c = 8k = 8 \times 0.003 \text{ м} = 0.024 \text{ м}$.

Для проверки убедимся, что разность между наибольшей и наименьшей сторонами равна $0.009$ м:

$0.024 \text{ м} - 0.015 \text{ м} = 0.009 \text{ м}$. Это соответствует условию задачи.

Ответ:

Стороны подобного треугольника равны $0.015$ м, $0.018$ м и $0.024$ м.

427. Во вписанном в окружность четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $K$. Известно, что $AB = 6$ см, $BK = 4$ см, $AK = 3$ см, $CD = 7$ см. Найдите $CK$ и $DK$.

Дано:

Вписанный четырехугольник $ABCD$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$.

$AB = 6$ см

$BK = 4$ см

$AK = 3$ см

$CD = 7$ см

Перевод в систему СИ:

$AB = 0.06$ м

$BK = 0.04$ м

$AK = 0.03$ м

$CD = 0.07$ м

Найти:

$CK$

$DK$

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle AKB$ и $\triangle DKC$.

Углы $\angle AKB$ и $\angle DKC$ равны как вертикальные.

Углы $\angle KAB$ (или $\angle CAB$) и $\angle KDC$ (или $\angle BDC$) равны, так как они опираются на одну и ту же дугу $BC$.

Углы $\angle KBA$ (или $\angle DBA$) и $\angle KCD$ (или $\angle ACD$) равны, так как они опираются на одну и ту же дугу $AD$.

Таким образом, треугольники $\triangle AKB$ и $\triangle DKC$ подобны по трем углам (критерий ААА).

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон:

$\frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK} = \frac{AB}{CD}$

Используем первое и третье отношения для нахождения $DK$:

$\frac{AK}{DK} = \frac{AB}{CD}$

Подставляем известные значения:

$\frac{3}{DK} = \frac{6}{7}$

Выразим $DK$:

$6 \cdot DK = 3 \cdot 7$

$6 \cdot DK = 21$

$DK = \frac{21}{6}$

$DK = 3.5$ см

Используем второе и третье отношения для нахождения $CK$:

$\frac{BK}{CK} = \frac{AB}{CD}$

Подставляем известные значения:

$\frac{4}{CK} = \frac{6}{7}$

Выразим $CK$:

$6 \cdot CK = 4 \cdot 7$

$6 \cdot CK = 28$

$CK = \frac{28}{6}$

$CK = \frac{14}{3}$ см, или $CK = 4 \frac{2}{3}$ см

Ответ: $CK = 4 \frac{2}{3}$ см, $DK = 3.5$ см