Номер 421, страница 177 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

421. Докажите, что точки $A(5; -1)$, $B(9; 5)$, $C(12; 6)$, $D(14; 2)$ являются вершинами трапеции. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Дано:

Вершины четырехугольника: $A(5; -1)$, $B(9; 5)$, $C(12; 6)$, $D(14; 2)$.

Найти:

Доказать, что точки $A$, $B$, $C$, $D$ являются вершинами трапеции.

Длину средней линии этой трапеции.

Решение:

Докажите, что точки A(5; -1), B(9; 5), C(12; 6), D(14; 2) являются вершинами трапеции.

Для того чтобы четырехугольник был трапецией, у него должна быть ровно одна пара параллельных сторон. Проверим параллельность сторон, вычислив их угловые коэффициенты.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, определяется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Вычислим угловые коэффициенты для всех сторон четырехугольника $ABCD$:

Угловой коэффициент стороны $AB$ (точки $A(5; -1)$ и $B(9; 5)$):

$k_{AB} = \frac{5 - (-1)}{9 - 5} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Угловой коэффициент стороны $BC$ (точки $B(9; 5)$ и $C(12; 6)$):

$k_{BC} = \frac{6 - 5}{12 - 9} = \frac{1}{3}$

Угловой коэффициент стороны $CD$ (точки $C(12; 6)$ и $D(14; 2)$):

$k_{CD} = \frac{2 - 6}{14 - 12} = \frac{-4}{2} = -2$

Угловой коэффициент стороны $DA$ (точки $D(14; 2)$ и $A(5; -1)$):

$k_{DA} = \frac{-1 - 2}{5 - 14} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$

Сравниваем угловые коэффициенты противоположных сторон:

Поскольку $k_{BC} = k_{DA} = \frac{1}{3}$, стороны $BC$ и $DA$ параллельны.

Поскольку $k_{AB} = \frac{3}{2}$ и $k_{CD} = -2$, стороны $AB$ и $CD$ не параллельны.

Так как четырехугольник $ABCD$ имеет одну пару параллельных сторон ($BC$ и $DA$) и одну пару непараллельных сторон ($AB$ и $CD$), он является трапецией.

Ответ: Доказано, что точки $A(5; -1)$, $B(9; 5)$, $C(12; 6)$, $D(14; 2)$ являются вершинами трапеции, так как стороны $BC$ и $DA$ параллельны ($k_{BC} = k_{DA} = \frac{1}{3}$), а стороны $AB$ и $CD$ не параллельны ($k_{AB} = \frac{3}{2}$, $k_{CD} = -2$).

Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме длин ее оснований. В данной трапеции основаниями являются параллельные стороны $BC$ и $DA$.

Длина отрезка между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ определяется по формуле: $L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Вычислим длины оснований:

Длина основания $BC$ (точки $B(9; 5)$ и $C(12; 6)$):

$BC = \sqrt{(12 - 9)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

Длина основания $DA$ (точки $D(14; 2)$ и $A(5; -1)$):

$DA = \sqrt{(5 - 14)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90}$

Упростим $\sqrt{90}$: $\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$.

Теперь найдем длину средней линии $m$ трапеции:

$m = \frac{BC + DA}{2} = \frac{\sqrt{10} + 3\sqrt{10}}{2} = \frac{4\sqrt{10}}{2} = 2\sqrt{10}$

Ответ: Длина средней линии этой трапеции равна $2\sqrt{10}$.