Номер 419, страница 177 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

419.

а) Длина дуги радиусом 6 дм, содержащая центральный угол в $150^\circ$, равна длине некоторой окружности. Найдите радиус этой окружности.

б) Найдите с точностью до 0,1 см длину маятника настенных часов (рисунок 209), угол колебания которого составляет $36^\circ$, а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 16 см.

Рисунок 209

a)

Дано:
Радиус окружности, из которой взята дуга: $R_1 = 6$ дм
Центральный угол дуги: $\alpha = 150^\circ$
Длина этой дуги $L$ равна длине некоторой окружности $C_2$.

Перевод в СИ:
$R_1 = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$
$\alpha = 150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{5\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:
Радиус этой окружности $R_2$.

Решение:
Длина дуги $L$ вычисляется по формуле $L = \alpha R_1$, где $\alpha$ выражено в радианах.
$L = \frac{5\pi}{6} \cdot 0.6 \text{ м} = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{6}{10} \text{ м} = \frac{5\pi}{10} \text{ м} = \frac{\pi}{2} \text{ м}$.
Длина окружности $C_2$ вычисляется по формуле $C_2 = 2\pi R_2$.
По условию, длина дуги равна длине некоторой окружности, то есть $L = C_2$.
$\frac{\pi}{2} = 2\pi R_2$
Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{1}{2} = 2 R_2$
Отсюда $R_2 = \frac{1}{4} \text{ м} = 0.25 \text{ м}$.
Переведем в дециметры: $0.25 \text{ м} = 2.5 \text{ дм}$.

Ответ: $2.5 \text{ дм}$

б)

Дано:
Угол колебания маятника: $\beta = 36^\circ$
Длина дуги, описываемая концом маятника: $l = 16$ см

Перевод в СИ:
$\beta = 36^\circ = 36 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{5} \text{ рад}$
$l = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:
Длину маятника $R_m$ (с точностью до $0.1$ см).

Решение:
Длина дуги, описываемой концом маятника, вычисляется по формуле $l = \beta R_m$, где $\beta$ выражено в радианах, а $R_m$ — длина маятника (радиус).
Из этой формулы выразим длину маятника $R_m$:
$R_m = \frac{l}{\beta}$
Подставим известные значения:
$R_m = \frac{0.16 \text{ м}}{\frac{\pi}{5} \text{ рад}} = \frac{0.16 \cdot 5}{\pi} \text{ м} = \frac{0.8}{\pi} \text{ м}$.
Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3.14159$:
$R_m \approx \frac{0.8}{3.14159} \text{ м} \approx 0.254647 \text{ м}$.
Переведем в сантиметры:
$R_m \approx 0.254647 \cdot 100 \text{ см} \approx 25.4647 \text{ см}$.
Округлим до $0.1$ см:
$R_m \approx 25.5 \text{ см}$.

Ответ: $25.5 \text{ см}$