Номер 418, страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

418. Найдите неизвестные стороны и углы $\triangle ABC$, если:

а) $BC = AB = 4$ дм, $\angle A = 30^\circ$;

б) $AC = 15$ мм, $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 50^\circ$;

в) $AB = 5$ см, $AC = 9$ см, $\sin A = \frac{4}{5}$.

а)

Дано:

В треугольнике $\triangle ABC$: $BC = AB = 4$ дм, $\angle A = 30^\circ$.

Перевод в СИ:

$AB = 4$ дм $= 0.4$ м

$BC = 4$ дм $= 0.4$ м

Найти:

$AC$, $\angle B$, $\angle C$.

Решение:

Поскольку в $\triangle ABC$ стороны $BC$ и $AB$ равны ($BC = AB = 4$ дм), треугольник является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle C = \angle A$.

$\angle C = 30^\circ$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$.

$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.

Для нахождения стороны $AC$ воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

$AC = AB \cdot \frac{\sin B}{\sin C}$

Известно, что $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Также $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

$AC = 4 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \sqrt{3}$ дм.

Ответ: $AC = 4\sqrt{3}$ дм, $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 30^\circ$.

б)

Дано:

В треугольнике $\triangle ABC$: $AC = 15$ мм, $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 50^\circ$.

Перевод в СИ:

$AC = 15$ мм $= 0.015$ м

Найти:

$AB$, $BC$, $\angle B$.

Решение:

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 50^\circ = 100^\circ$.

Для нахождения сторон $AB$ и $BC$ воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

Найдем $AB$:

$AB = AC \cdot \frac{\sin C}{\sin B}$

$AB = 15 \cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 100^\circ}$

Используем приближенные значения: $\sin 50^\circ \approx 0.7660$, $\sin 100^\circ \approx 0.9848$.

$AB \approx 15 \cdot \frac{0.7660}{0.9848} \approx 15 \cdot 0.7778 \approx 11.67$ мм.

Найдем $BC$:

$BC = AC \cdot \frac{\sin A}{\sin B}$

$BC = 15 \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 100^\circ}$

Известно, что $\sin 30^\circ = 0.5$.

$BC \approx 15 \cdot \frac{0.5}{0.9848} \approx 15 \cdot 0.5077 \approx 7.62$ мм.

Ответ: $AB \approx 11.67$ мм, $BC \approx 7.62$ мм, $\angle B = 100^\circ$.

в)

Дано:

В треугольнике $\triangle ABC$: $AB = 5$ см, $AC = 9$ см, $\sin A = \frac{4}{5}$.

Перевод в СИ:

$AB = 5$ см $= 0.05$ м

$AC = 9$ см $= 0.09$ м

Найти:

$BC$, $\angle B$, $\angle C$.

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством для нахождения $\cos A$:

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

$\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 A = 1$

$\frac{16}{25} + \cos^2 A = 1$

$\cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\cos A = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$.

Поскольку угол $A$ является углом треугольника (от $0^\circ$ до $180^\circ$), $\sin A > 0$ всегда. Однако $\cos A$ может быть как положительным (если $A$ острый, $0^\circ < A < 90^\circ$), так и отрицательным (если $A$ тупой, $90^\circ < A < 180^\circ$). Таким образом, существует два возможных случая для треугольника.

Случай 1: Угол A острый ($\cos A = \frac{3}{5}$)

Используем теорему косинусов для нахождения стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot \frac{3}{5}$

$BC^2 = 25 + 81 - (2 \cdot 9 \cdot 3)$

$BC^2 = 25 + 81 - 54$

$BC^2 = 106 - 54 = 52$

$BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см.

Теперь найдем углы $\angle B$ и $\angle C$ с помощью теоремы синусов:

$\frac{\sin B}{AC} = \frac{\sin A}{BC}$

$\sin B = AC \cdot \frac{\sin A}{BC} = 9 \cdot \frac{4/5}{2\sqrt{13}} = \frac{36/5}{2\sqrt{13}} = \frac{36}{10\sqrt{13}} = \frac{18}{5\sqrt{13}}$

Чтобы определить, острый или тупой $\angle B$, можно использовать теорему косинусов для $\angle B$.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$9^2 = 5^2 + (2\sqrt{13})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{13} \cdot \cos B$

$81 = 25 + 52 - 20\sqrt{13} \cos B$

$81 = 77 - 20\sqrt{13} \cos B$

$4 = -20\sqrt{13} \cos B$

$\cos B = -\frac{4}{20\sqrt{13}} = -\frac{1}{5\sqrt{13}}$. Так как $\cos B < 0$, угол $\angle B$ тупой.

$\angle A = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right) \approx 53.13^\circ$.

$\angle B = \arccos\left(-\frac{1}{5\sqrt{13}}\right) \approx 93.18^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 53.13^\circ - 93.18^\circ \approx 33.69^\circ$.

Для проверки $\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = 5 \cdot \frac{4/5}{2\sqrt{13}} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$. $\arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) \approx 33.69^\circ$.

Случай 2: Угол A тупой ($\cos A = -\frac{3}{5}$)

Используем теорему косинусов для нахождения стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)$

$BC^2 = 25 + 81 - (-54)$

$BC^2 = 25 + 81 + 54 = 160$

$BC = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.

Теперь найдем углы $\angle B$ и $\angle C$ с помощью теоремы синусов. Поскольку угол $A$ тупой, углы $B$ и $C$ должны быть острыми.

$\angle A = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) \approx 126.87^\circ$.

$\frac{\sin B}{AC} = \frac{\sin A}{BC}$

$\sin B = AC \cdot \frac{\sin A}{BC} = 9 \cdot \frac{4/5}{4\sqrt{10}} = \frac{36/5}{4\sqrt{10}} = \frac{36}{20\sqrt{10}} = \frac{9}{5\sqrt{10}}$

$\angle B = \arcsin\left(\frac{9}{5\sqrt{10}}\right) \approx 34.78^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 126.87^\circ - 34.78^\circ \approx 18.35^\circ$.

Для проверки $\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = 5 \cdot \frac{4/5}{4\sqrt{10}} = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$. $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \approx 18.43^\circ$. (Незначительная разница из-за округления.)

Ответ:

Существует два возможных решения:

1) Если $\angle A$ острый ($\cos A = \frac{3}{5}$): $BC = 2\sqrt{13}$ см, $\angle A \approx 53.13^\circ$, $\angle B \approx 93.18^\circ$, $\angle C \approx 33.69^\circ$.

2) Если $\angle A$ тупой ($\cos A = -\frac{3}{5}$): $BC = 4\sqrt{10}$ см, $\angle A \approx 126.87^\circ$, $\angle B \approx 34.78^\circ$, $\angle C \approx 18.43^\circ$.