Номер 413, страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

413. Подобны ли два треугольника, если:

a) они прямоугольные и катеты одного равны 3 дм и 4 дм, а катеты другого – 0,6 дм и 0,8 дм;

б) стороны одного 3 см, 4 см и 6 см, а стороны другого – 6 см, 8 см и 12 см?

а)

Дано:

Первый прямоугольный треугольник имеет катеты $a_1 = 3 \text{ дм}$, $b_1 = 4 \text{ дм}$.

Второй прямоугольный треугольник имеет катеты $a_2 = 0.6 \text{ дм}$, $b_2 = 0.8 \text{ дм}$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$

$b_1 = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

$a_2 = 0.6 \text{ дм} = 0.06 \text{ м}$

$b_2 = 0.8 \text{ дм} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Подобны ли треугольники?

Решение:

Два прямоугольных треугольника подобны, если отношение их соответствующих катетов равно. Сравним отношения катетов:

Отношение первых катетов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3 \text{ дм}}{0.6 \text{ дм}} = 5$.

Отношение вторых катетов: $\frac{b_1}{b_2} = \frac{4 \text{ дм}}{0.8 \text{ дм}} = 5$.

Так как отношения соответствующих катетов равны ($5 = 5$), то треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, в данном случае прямому углу).

Ответ: Да, подобны.

б)

Дано:

Первый треугольник имеет стороны $s_{1,1} = 3 \text{ см}$, $s_{1,2} = 4 \text{ см}$, $s_{1,3} = 6 \text{ см}$.

Второй треугольник имеет стороны $s_{2,1} = 6 \text{ см}$, $s_{2,2} = 8 \text{ см}$, $s_{2,3} = 12 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$s_{1,1} = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$s_{1,2} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$s_{1,3} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$s_{2,1} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$s_{2,2} = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$s_{2,3} = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Подобны ли треугольники?

Решение:

Два треугольника подобны, если их соответствующие стороны пропорциональны. Сравним отношения сторон, расположив их по возрастанию:

Отношение первых сторон: $\frac{s_{1,1}}{s_{2,1}} = \frac{3 \text{ см}}{6 \text{ см}} = 0.5$.

Отношение вторых сторон: $\frac{s_{1,2}}{s_{2,2}} = \frac{4 \text{ см}}{8 \text{ см}} = 0.5$.

Отношение третьих сторон: $\frac{s_{1,3}}{s_{2,3}} = \frac{6 \text{ см}}{12 \text{ см}} = 0.5$.

Так как отношения всех соответствующих сторон равны ($0.5 = 0.5 = 0.5$), то треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем пропорциональным сторонам).

Ответ: Да, подобны.