Номер 409, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

409. Сторона правильного треугольника равна $a$. Из его центра радиусом $\frac{a}{3}$ проведена окружность. Найдите площадь той части треугольника, которая находится вне этой окружности.

Дано:

Сторона правильного треугольника: $a$

Радиус окружности: $R = \frac{a}{3}$

Центр окружности совпадает с центром треугольника.

Найти:

Площадь той части треугольника, которая находится вне этой окружности.

Решение:

1. Площадь правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{треугольника}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Радиус вписанной окружности (инрадиус) для правильного треугольника:

Центр правильного треугольника является также центром вписанной окружности. Радиус этой окружности (инрадиус) равен:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

3. Сравнение радиуса заданной окружности с инрадиусом:

Радиус данной окружности $R = \frac{a}{3}$. Сравним его с инрадиусом $r$:

$R = \frac{a}{3} = \frac{2a}{6}$

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Так как $2 > \sqrt{3}$ (что эквивалентно $2^2 > (\sqrt{3})^2$, то есть $4 > 3$), то $R > r$. Это означает, что окружность выходит за пределы вписанной окружности и пересекает стороны треугольника.

4. Определение области пересечения треугольника и окружности:

Поскольку окружность центрирована в центре треугольника и $R > r$, она пересекает каждую сторону треугольника в двух точках. Часть круга, которая находится вне треугольника, состоит из трёх одинаковых круговых сегментов.

Для определения площади этих сегментов, сначала найдём угол сектора, соответствующего каждому сегменту. Рассмотрим одну сторону треугольника. Расстояние от центра треугольника до середины этой стороны равно $r$. Пусть $P$ и $Q$ - точки пересечения окружности со стороной. Пусть $M$ - середина стороны. В прямоугольном треугольнике $\triangle OMP$, где $O$ - центр, $OM = r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, а $OP = R = \frac{a}{3}$.

Длина отрезка $MP$ (половина хорды $PQ$) находится по теореме Пифагора:

$MP = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{9} - \frac{3a^2}{36}} = \sqrt{\frac{a^2}{9} - \frac{a^2}{12}} = \sqrt{\frac{4a^2 - 3a^2}{36}} = \sqrt{\frac{a^2}{36}} = \frac{a}{6}$.

Теперь найдем синус угла $\angle MOP$:

$\sin(\angle MOP) = \frac{MP}{OP} = \frac{a/6}{a/3} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\angle MOP = 30^\circ$.

Угол, образованный радиусами $OP$ и $OQ$, идущими к точкам пересечения $P$ и $Q$ на одной стороне, равен $2 \times \angle MOP = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.

5. Площадь одного кругового сегмента вне треугольника:

Площадь кругового сектора с углом $60^\circ$ и радиусом $R = \frac{a}{3}$:

$S_{\text{сектора}} = \frac{60}{360} \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{1}{6} \frac{\pi a^2}{9} = \frac{\pi a^2}{54}$

Площадь треугольника, образованного центром $O$ и точками пересечения $P, Q$:

$S_{\triangle OPQ} = \frac{1}{2} R^2 \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \left(\frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \frac{a^2}{9} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{36}$

Площадь одного кругового сегмента (часть круга вне треугольника):

$S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} - S_{\triangle OPQ} = \frac{\pi a^2}{54} - \frac{a^2\sqrt{3}}{36}$

6. Общая площадь части окружности вне треугольника:

Так как таких сегментов три (по одному для каждой стороны треугольника):

$S_{\text{окружности вне треугольника}} = 3 \times S_{\text{сегмента}} = 3 \left(\frac{\pi a^2}{54} - \frac{a^2\sqrt{3}}{36}\right) = \frac{3\pi a^2}{54} - \frac{3a^2\sqrt{3}}{36} = \frac{\pi a^2}{18} - \frac{a^2\sqrt{3}}{12}$

7. Площадь части треугольника внутри окружности (пересечение):

Площадь всего круга:

$S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{9}$

Площадь части треугольника, которая находится внутри окружности (площадь пересечения), равна площади всего круга минус та часть круга, которая находится вне треугольника:

$S_{\text{пересечения}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{окружности вне треугольника}}$

$S_{\text{пересечения}} = \frac{\pi a^2}{9} - \left(\frac{\pi a^2}{18} - \frac{a^2\sqrt{3}}{12}\right)$

$S_{\text{пересечения}} = \frac{2\pi a^2}{18} - \frac{\pi a^2}{18} + \frac{a^2\sqrt{3}}{12} = \frac{\pi a^2}{18} + \frac{a^2\sqrt{3}}{12}$

8. Площадь части треугольника вне окружности:

Искомая площадь - это площадь всего треугольника минус площадь его части, находящейся внутри окружности:

$S_{\text{треугольника вне окружности}} = S_{\text{треугольника}} - S_{\text{пересечения}}$

$S_{\text{треугольника вне окружности}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} - \left(\frac{\pi a^2}{18} + \frac{a^2\sqrt{3}}{12}\right)$

$S_{\text{треугольника вне окружности}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} - \frac{a^2\sqrt{3}}{12} - \frac{\pi a^2}{18}$

Приведём к общему знаменателю для членов с $\sqrt{3}$ (общий знаменатель 12):

$\frac{3a^2\sqrt{3}}{12} - \frac{a^2\sqrt{3}}{12} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{12} = \frac{a^2\sqrt{3}}{6}$

Итоговая площадь:

$S_{\text{треугольника вне окружности}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{6} - \frac{\pi a^2}{18}$

Можно вынести общий множитель $a^2$:

$S_{\text{треугольника вне окружности}} = a^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\pi}{18}\right)$

Или привести дроби в скобках к общему знаменателю 18:

$S_{\text{треугольника вне окружности}} = a^2 \left(\frac{3\sqrt{3}}{18} - \frac{\pi}{18}\right) = \frac{a^2}{18} (3\sqrt{3} - \pi)$

Ответ:

$ \frac{a^2}{18} (3\sqrt{3} - \pi) $