Номер 410, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

410.

1A) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого равен $135^\circ$?

2A) Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна 12 см. Найдите площадь описанного около этой окружности квадрата.

3В) Постройте с помощью циркуля и линейки правильный двенадцатиугольник.

4В) Дан правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$. Построены дуги окружностей с центрами в точках $A, B, C$ радиуса $0,5a$ (рисунок 206). Найдите площадь фигуры $MNK$.

5С) Равнобедренный треугольник с боковой стороной $2\sqrt{3}$ см и углом $120^\circ$ при его вершине вписан в круг. Найдите площадь сегмента, ограниченного боковой стороной и не содержащего данный треугольник.

1A)

Дано:

Правильный многоугольник

Внутренний угол $\alpha = 135^\circ$

Перевод в СИ: (Не применимо, угол уже в градусах.)

Найти:

Количество сторон $n$.

Решение:

Формула для внутреннего угла правильного многоугольника с $n$ сторонами:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Подставим значение $\alpha = 135^\circ$:

$135^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Умножим обе части на $n$:

$135n = (n-2) \cdot 180$

$135n = 180n - 360$

Перенесем члены с $n$ в одну сторону:

$135n - 180n = -360$

$-45n = -360$

Разделим обе части на $-45$:

$n = \frac{-360}{-45}$

$n = 8$

Ответ: 8 сторон

2A)

Дано:

Правильный шестиугольник вписан в окружность.

Сторона шестиугольника $a_6 = 12$ см.

Перевод в СИ:

$a_6 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь квадрата $S_{\text{кв}}$, описанного около этой окружности.

Решение:

Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона $a_6$ равна радиусу $R$ описанной окружности.

$R = a_6 = 12 \text{ см}$

Квадрат, описанный около окружности, имеет сторону $s$, равную диаметру этой окружности.

$s = 2R$

$s = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$

Площадь квадрата $S_{\text{кв}}$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{кв}} = s^2$

$S_{\text{кв}} = (24 \text{ см})^2 = 576 \text{ см}^2$

Ответ: $576 \text{ см}^2$

3B)

Решение:

Для построения правильного двенадцатиугольника с помощью циркуля и линейки можно использовать следующий метод:

1. Нарисуйте окружность с центром $O$ и произвольным радиусом $R$.

2. Проведите любой диаметр $AD$ через центр $O$. Точки $A$ и $D$ будут первыми двумя вершинами двенадцатиугольника.

3. Постройте диаметр $BC$, перпендикулярный $AD$. Для этого можно провести дуги с центром в $A$ и $D$ радиусом, большим $R$, найти точки их пересечения, и провести через них прямую, которая пройдет через $O$ и пересечет окружность в точках $B$ и $C$. Таким образом, получены 4 вершины квадрата, вписанного в окружность.

4. Теперь нужно найти дополнительные 8 вершин. Это можно сделать, используя свойство правильного шестиугольника: его сторона равна радиусу описанной окружности. Отложите от точки $A$ (или любой другой вершины) радиусом $R$ на окружности точки, которые будут соответствовать вершинам правильного шестиугольника. Например, из $A$ отложите $R$ на окружности, получите точку $E$. Из $E$ отложите $R$, получите $F$, и так далее. Это даст 6 вершин ($A, E, F, ...$) с центральным углом $60^\circ$ между соседними вершинами.

5. Чтобы получить 12 вершин, каждую из этих 60-градусных дуг нужно разделить пополам (построить биссектрисы центральных углов). Для этого, например, для дуги $AE$, установите циркуль в $A$ и $E$ с радиусом, большим половины дуги, проведите дуги до пересечения. Прямая, проходящая через $O$ и точку пересечения этих дуг, пересечет окружность в новой вершине.

6. Повторите шаг 5 для всех шести 60-градусных дуг. Это даст еще 6 вершин. В итоге получится 12 равноотстоящих точек на окружности.

7. Соедините последовательно все 12 полученных точек отрезками. Это будет правильный двенадцатиугольник.

Ответ: Построение описано выше.

4B)

Дано:

Правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$.

Построены дуги окружностей с центрами в точках $A, B, C$ радиуса $r = 0.5a$.

Перевод в СИ: (Значения остаются в буквенном выражении.)

Найти:

Площадь фигуры $MNK$.

Решение:

Фигура $MNK$ является частью треугольника $ABC$, которая не покрыта тремя круговыми секторами, построенными в его вершинах.

1. Найдем площадь правильного треугольника $ABC$.

Формула площади правильного треугольника со стороной $a$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Найдем площадь каждого из трех круговых секторов.

Углы правильного треугольника равны $60^\circ$. Каждый сектор имеет центральный угол $\theta = 60^\circ$ и радиус $r = 0.5a$.

Площадь одного сектора $S_{\text{сектор}}$:

$S_{\text{сектор}} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2$

$S_{\text{сектор}} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi (0.5a)^2$

$S_{\text{сектор}} = \frac{1}{6} \cdot \pi (0.25a^2)$

$S_{\text{сектор}} = \frac{\pi a^2}{24}$

3. Найдем общую площадь трех секторов.

Поскольку секторы расположены в углах треугольника и радиус $r = 0.5a$ меньше половины высоты треугольника, они не перекрываются между собой. Следовательно, их суммарная площадь просто равна утроенной площади одного сектора.

$S_{\text{3 сектора}} = 3 \cdot S_{\text{сектор}} = 3 \cdot \frac{\pi a^2}{24} = \frac{\pi a^2}{8}$

4. Найдем площадь фигуры $MNK$.

Площадь фигуры $MNK$ равна площади треугольника $ABC$ минус суммарная площадь трех секторов:

$S_{MNK} = S_{\triangle ABC} - S_{\text{3 сектора}}$

$S_{MNK} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \frac{\pi a^2}{8}$

Вынесем общий множитель $a^2$:

$S_{MNK} = a^2 \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{8} \right)$

Приведем к общему знаменателю:

$S_{MNK} = a^2 \left( \frac{2\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{8} \right)$

$S_{MNK} = \frac{a^2}{8} (2\sqrt{3} - \pi)$

Ответ: $\frac{a^2}{8} (2\sqrt{3} - \pi)$

5C)

Дано:

Равнобедренный треугольник вписан в круг.

Боковая сторона $b = 2\sqrt{3}$ см.

Угол при вершине $\gamma = 120^\circ$.

Перевод в СИ:

$b = 2\sqrt{3} \text{ см} \approx 0.0346 \text{ м}$

$\gamma = 120^\circ$

Найти:

Площадь сегмента, ограниченного боковой стороной и не содержащего данный треугольник.

Решение:

1. Найдем радиус $R$ окружности, описанной около треугольника.

Обозначим треугольник $ABC$, где $AB = AC = b = 2\sqrt{3}$ см, а $\angle A = 120^\circ$.

Так как треугольник равнобедренный, углы при основании $BC$ равны:

$\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Воспользуемся теоремой синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:

$2R = \frac{AB}{\sin C}$

$2R = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 30^\circ}$

$2R = \frac{2\sqrt{3}}{1/2}$

$2R = 4\sqrt{3}$

$R = 2\sqrt{3}$ см.

Таким образом, радиус описанной окружности равен длине боковой стороны треугольника.

2. Определим сегмент и его центральный угол.

Сегмент ограничен боковой стороной (например, $AB$) и не содержит данный треугольник. Это означает, что мы ищем площадь меньшего из двух сегментов, отсекаемых хордой $AB$.

Поскольку длина хорды $AB$ равна радиусу $R$ ($AB = 2\sqrt{3}$ см, $R = 2\sqrt{3}$ см), центральный угол $\theta$, опирающийся на эту хорду, равен $60^\circ$ (треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, является равносторонним).

3. Найдем площадь сектора, соответствующего этому сегменту.

Радиус сектора $R = 2\sqrt{3}$ см, центральный угол $\theta = 60^\circ$.

$S_{\text{сектор}} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2$

$S_{\text{сектор}} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi (2\sqrt{3})^2$

$S_{\text{сектор}} = \frac{1}{6} \cdot \pi (4 \cdot 3)$

$S_{\text{сектор}} = \frac{1}{6} \cdot 12\pi = 2\pi \text{ см}^2$

4. Найдем площадь треугольника, образованного радиусами и хордой (треугольник $AOB$, где $O$ - центр окружности).

Так как центральный угол равен $60^\circ$ и две стороны равны $R$, треугольник $AOB$ является равносторонним со стороной $R = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь равностороннего треугольника:

$S_{\triangle AOB} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2$

$S_{\triangle AOB} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{3})^2$

$S_{\triangle AOB} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12 = 3\sqrt{3} \text{ см}^2$

5. Найдем площадь сегмента.

Площадь сегмента равна площади сектора минус площадь соответствующего треугольника:

$S_{\text{сегмент}} = S_{\text{сектор}} - S_{\triangle AOB}$

$S_{\text{сегмент}} = (2\pi - 3\sqrt{3}) \text{ см}^2$

Ответ: $(2\pi - 3\sqrt{3}) \text{ см}^2$